Colegiul de Comerț și Economie din Kaliningrad este o ramură a Academiei Ruse de Economie Națională și Administrație Publică sub președintele Federației Ruse. Colegiul de Comerț și Economie din Kaliningrad - o ramură a Academiei Ruse de Economie Națională și

Istoria Colegiului de Comerț și Economie din Kaliningrad este o pagină din istoria regiunii, care a fost scrisă din 1946. De atunci, peste 25.000 de specialiști au absolvit facultatea.

Din 2004, colegiul a devenit o platformă experimentală pentru Institutul din Moscova pentru Dezvoltarea Liceului învăţământul profesional pe tema „Diseminarea experienței europene în crearea și organizarea Centrelor de Educație a Adulților și a Centrelor de Educație Deschise din regiune”. De zece ani este membru al Asociației Ruse de Marketing, are statutul de colegiu de orientare socială. Acesta din urmă a fost repartizat colegiului de către administrația regională pentru sprijinul constant al studenților neprotejați social, profesorilor, pensionarilor, militarilor și familiilor acestora, profesorilor și angajaților care lucrează.

Formarea studenților de la Colegiul de Comerț și Economie din Kaliningrad se desfășoară la cinci facultăți: tehnologie și servicii, management de marketing, drept, economie și contabilitate, forme netradiționale de educație. Domeniul educațional al colegiului include șaisprezece specialități. Acestea includ tehnologia de gătit, comerțul alimentar, comerțul comercial, managementul, marketingul, contabilitatea juridică, banca, managementul ospitalității, finanțele, turismul și multe altele.

Colegiul are un Centru de orientare în carieră și formare a solicitanților. La facultatea de forme netradiționale de învățământ, nu numai că vă puteți îmbunătăți abilitățile, ci vă puteți dobândi și o nouă specialitate la locul de muncă. Actualul Open Education Center se concentrează pe acordarea de asistență în formarea profesională în peste douăzeci de specialități. Aici vă puteți îmbunătăți abilitățile, puteți urma o recalificare. Metodele sunt variate: jocuri de afaceri, traininguri, seminarii, exerciții, sesiuni deschise, conferințe, munca de proiect Toate acestea permit ascultătorilor să asimileze cât mai mult materialul propus.

Cooperare cu Kaliningrad universitate de stat, Universitatea Tehnică de Stat din Kaliningrad, Marea Baltică academiei de stat permite colegiului să formeze specialiști ale căror cunoștințe devin capital și resursa principală dezvoltare economică regiune. În anii acestei interacțiuni educatie inalta peste două sute de absolvenți primiți la o facultate specială cu o perioadă scurtă de studiu. Toate sunt solicitate de complexul economic al regiunii, mulți au intrat în elita corpului de afaceri din regiune.

Colegiul de Comerț și Economie din Kaliningrad a stabilit comunicare și cooperează activ cu Danemarca, Suedia, Germania, Polonia și Finlanda. Echipa participă la proiecte educaționale internaționale. Tematica lor este diversă, include subiecte atât de importante precum „Ajutorarea autorităților din Kaliningrad în dezvoltarea întreprinderilor mici și mijlocii”, „Ajutorarea ofițerilor și a membrilor șomeri ai familiilor lor în obținerea de specialități civile pentru angajarea ulterioară”, „Formarea profesorilor”. în andragogie şi dezvoltarea programelor de formare a antreprenoriatului”. activităţi la Kaliningrad” şi altele asemenea.

În 1999, în cadrul unui proiect internațional, datorită eforturilor Lidiei Ivanovna Motolyanets, director adjunct pentru afaceri academice, a fost creată o firmă de imitație - un model de întreprindere care reflectă activitățile unei adevărate organizații comerciale, o formă specializată eficientă de pregătire avansată pentru personalul de la toate nivelurile care lucrează în domeniul afacerilor mici.

Misiunea colectivului - de a garanta o educație care să răspundă nevoilor societății și să contribuie la formarea unei persoane întregi - este pe deplin implementată. Colegiul de Comerț și Economie din Kaliningrad înseamnă profesionalism, responsabilitate și prestigiu.

KTEK
PCC de Economie și Contabilitate

15 exemplare, 2006

Introducere. patru

Conceptul de derivat. 5

Instrumente derivate private. unsprezece

Puncte de inflexiune. 16

Exerciții de rezolvare. 17

Test. douăzeci

Răspunsuri la exerciții.. 21

Literatură. 23

Introducere

f(x X, apoi sunat produs marginal; dacă g(x) g(x) g′(x) numit costul marginal.

De exemplu, Lasă funcția u=u(t) uîn timpul lucrului t. ∆t=t 1 - t 0:

z cf. =

z cf. la ∆t→ 0: .

costurile productiei K X, ca să putem scrie K=K(x) ∆x K(x+∆x). ∆x ∆K=K(x+∆x)- K(x).

Limită numit

Conceptul de derivat

Derivata functiei in punctul x 0 se numește limita raportului dintre incrementul funcției și incrementul argumentului, cu condiția ca incrementul argumentului să tinde spre zero.

Notația funcției derivate:

Acea. prin definitie:

Algoritm pentru găsirea derivatei:

Lasă funcția y=f(x) continuu pe segment , X

1. Găsiți incrementul argumentului:

X este noua valoare a argumentului

x0- valoarea initiala

2. Găsiți incrementul funcției:

f(x) este noua valoare a funcției

f(x0)- valoarea inițială a funcției

3. Găsiți raportul dintre incrementul funcției și incrementul argumentului:

4. Aflați limita raportului găsit la

Găsiți derivata funcției pe baza definiției derivatei.

Soluţie:

Să dăm X creştere Δx, atunci noua valoare a funcției va fi:

Să găsim incrementul funcției ca diferență între valorile noi și inițiale ale funcției:

Găsiți raportul dintre incrementul funcției și incrementul argumentului:

.

Să găsim limita acestui raport cu condiția ca:

Prin urmare, prin definiția derivatei: .

Găsirea derivatei unei funcții se numește diferenţiere.

Funcţie y=f(x) numit diferentiabil pe intervalul (a;b) dacă are o derivată în fiecare punct al intervalului.

Teorema Dacă funcția este diferențiabilă într-un punct dat x 0, atunci este continuă în acel punct.

Afirmația inversă nu este adevărată, deoarece există funcții care sunt continue la un moment dat, dar nu sunt diferențiabile în acel moment. De exemplu, funcția în punctul x 0 =0.

Găsiți derivate ale funcțiilor

1) .

2) .

Să efectuăm transformările identice ale funcției:

Derivate de ordin superior

Derivată de ordinul doi se numeste derivata primei derivate. Notat

derivată de ordin n se numește derivată a derivatei de ordinul (n-1).

De exemplu,

Derivate parțiale

derivat privat o funcție a mai multor variabile față de una dintre aceste variabile se numește derivată luată față de această variabilă, cu condiția ca toate celelalte variabile să rămână constante.

De exemplu, pentru funcție derivatele parțiale de ordinul întâi vor fi egale:

Maxim și minim al unei funcții

Se numește valoarea argumentului la care funcția are cea mai mare valoare punct maxim.

Se apelează valoarea argumentului la care funcția are cea mai mică valoare punct minim.

Punctul maxim al funcției este punctul limită al tranziției funcției de la creștere la descrescătoare, punctul minim al funcției este punctul limită al tranziției de la descrescător la crescător.

Funcţie y=f(x) are (local) maxim la punctul dacă pentru toţi X

Funcţie y=f(x) are (local) minim la punctul dacă pentru toţi X, suficient de aproape de , inegalitatea

Valorile maxime și minime ale unei funcții au un nume comun extreme, iar punctele în care sunt atinse sunt numite puncte extremum.

Teorema (conditie necesara existența unui extremum) Fie ca funcția să fie definită pe interval și să aibă cea mai mare (cea mai mică) valoare în punctul . Atunci, dacă o derivată a acestei funcții există într-un punct, atunci ea este egală cu zero, adică. .

Dovada:

Fie în punctul x 0 funcția are cea mai mare valoare, atunci pentru orice inegalitate următoare este adevărată: .

Pentru orice punct

Dacă x > x 0 , atunci , i.e.

Dacă x< x 0 , то , т.е.

pentru că există , ceea ce este posibil numai dacă sunt egale cu zero, prin urmare, .

Consecinţă:

Dacă într-un punct funcția diferențiabilă ia cea mai mare (cea mai mică) valoare, atunci în acel punct tangenta la graficul acestei funcții este paralelă cu axa Ox.

Se numesc punctele în care derivata întâi este egală cu zero sau nu există critic - acestea sunt posibile puncte extreme.

Rețineți că, deoarece egalitatea primei derivate cu zero este doar o condiție necesară pentru un extremum, este necesar să se investigheze suplimentar problema prezenței unui extremum în fiecare punct al unui extremum posibil.

Teorema(condiție suficientă pentru existența unui extremum)

Lasă funcția y = f(x) este continuă și diferențiabilă într-o vecinătate a punctului x0. Dacă, la trecerea printr-un punct x0 de la stânga la dreapta, prima derivată își schimbă semnul de la plus la minus (de la minus la plus), apoi la punctul x0 funcţie y = f(x) are un maxim (minim). Dacă derivata întâi nu își schimbă semnul, atunci această funcție nu are un extremum la punct x 0 .

Algoritm pentru studierea unei funcții pentru un extremum:

1.Găsiți derivata întâi a funcției.

2. Echivalează prima derivată cu zero.

3. Rezolvați ecuația. Rădăcinile găsite ale ecuației sunt puncte critice.

4. Puneți punctele critice găsite pe axa numerică. Obținem un număr de intervale.

5. Determinați semnul primei derivate în fiecare dintre intervale și indicați extremele funcției.

6. Pentru a construi un grafic:

Ø determinați valorile funcției la punctele extreme

Ø găsiți punctele de intersecție cu axele de coordonate

Ø găsiți puncte suplimentare

Cutia de tablă are forma unui cilindru rotund cu rază r si inaltime h. Presupunând că o cantitate clar fixă ​​de staniu este utilizată pentru a face o cutie, determinați în ce raport rși h banca va avea cel mai mare volum.

Cantitatea de staniu folosită va fi egală cu suprafața întregii suprafețe a cutiei, adică. . (unu)

Din această egalitate găsim:

Apoi volumul poate fi calculat cu formula: . Problema se va reduce la găsirea maximului funcției V(r). Găsiți prima derivată a acestei funcții: . Echivalează prima derivată cu zero:

. Găsim: . (2)

Acest punct este punctul maxim, pentru că prima derivată este pozitivă la și negativă la .

Să stabilim acum la ce raport între rază și înălțime malul va avea cel mai mare volum. Pentru a face acest lucru, împărțim egalitatea (1) la r2și folosiți relația (2) pentru S. Primim: . Astfel, cel mai mare volum va avea un borcan a cărui înălțime este egală cu diametrul.

Uneori este destul de dificil să studiezi semnul primei derivate la stânga și la dreapta punctului extremum posibil, atunci poți folosi a doua condiție extremum suficientă:

Teorema Lasă funcția y = f(x) are la punct x0 extremul posibil, derivata a doua finală. Apoi funcția y = f(x) are la punct x0 maxim dacă , iar minimul dacă .

Observație Această teoremă nu rezolvă problema extremului unei funcții într-un punct dacă derivata a doua a funcției în punctul dat este egală cu zero sau nu există.

Puncte de inflexiune

Se numesc punctele curbei în care convexitatea se desparte de concavitate puncte de inflexiune.

Teorema (condiția necesară punctului de inflexiune): Fie că graficul funcției are o inflexiune într-un punct și funcția are o derivată secundă continuă în punctul x 0, atunci

Teorema (condiție suficientă pentru punctul de inflexiune): Fie ca funcția să aibă o derivată a doua într-o vecinătate a punctului x 0 , care are semne diferite stânga și dreapta de x0. atunci graficul funcției are o inflexiune în punctul .

Algoritmul pentru găsirea punctelor de inflexiune:

1. Aflați derivata a doua a funcției.

2. Echivalează derivata a doua cu zero și rezolvă ecuația: . Puneți rădăcinile rezultate pe o dreaptă numerică. Obținem un număr de intervale.

3. Aflați semnul derivatei a doua în fiecare dintre intervale. Dacă semnele derivatei a doua în două intervale adiacente sunt diferite, atunci avem un punct de inflexiune la o valoare dată a rădăcinii, dacă semnele sunt aceleași, atunci nu există puncte de inflexiune.

4. Aflați ordonatele punctelor de inflexiune.

Examinați curba pentru convexitate și concavitate. Găsiți puncte de inflexiune.

1) găsiți derivata a doua:

2) Rezolvați inegalitatea 2x<0 x<0 при x кривая выпуклая

3) Rezolvați inegalitatea 2x>0 x>0 pentru x curba este concavă

4) Aflați punctele de inflexiune, pentru care echivalăm derivata a doua cu zero: 2x=0 x=0. pentru că în punctul x=0 derivata a doua are semne diferite la stânga și la dreapta, atunci x=0 este abscisa punctului de inflexiune. Aflați ordonata punctului de inflexiune:

(0;0) punct de inflexiune.

Exerciții de rezolvat

Nr. 1 Găsiți derivatele acestor funcții, calculați valoarea derivatelor pentru o valoare a argumentului dat:

1.	5.	9.
2.	6.	10.
3.	7.	11.
4.	8.	12.
	13.	14.
	15.	16.

#2 Găsiți derivate ale funcțiilor complexe:

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.

Nr. 3 Rezolvați probleme:

1. Aflați panta tangentei trasate la parabolă în punctul x=3.

2. La parabola y \u003d 3x 2 -x în punctul x \u003d 1, sunt trase o tangentă și o normală. Scrieți ecuațiile lor.

3. Aflați coordonatele punctului în care tangenta la parabola y=x 2 +3x-10 formează un unghi de 135 0 cu axa OX.

4. Compuneți ecuația tangentei la graficul funcției y \u003d 4x-x 2 în punctul de intersecție cu axa OX.

5. La ce valori ale lui x este tangenta la graficul funcției y \u003d x 3 -x paralelă cu dreapta y \u003d x.

6. Punctul se deplasează în linie dreaptă conform legii S=2t 3 -3t 2 +4. găsiți accelerația și viteza punctului la sfârșitul celei de-a 3-a secunde. În ce moment va fi accelerația zero?

7. Când viteza unui punct care se deplasează conform legii S=t 2 -4t+5 este egală cu zero?

#4 Explorează funcții folosind derivata:

1. Investigați funcția y \u003d x 2 pentru monotonitate

2. Aflați intervalele de creștere și scădere ale funcției .

3. Aflați intervalele de creștere și scădere ale funcției .

4. Explorați funcția maximă și minimă .

5. Explorați funcția pentru un extremum .

6. Investigați funcția y \u003d x 3 pentru un extremum

7. Explorați funcția pentru un extremum .

8. Împărțiți numărul 24 în doi termeni, astfel încât produsul lor să fie cel mai mare.

9. Dintr-o foaie de hârtie, este necesar să tăiați un dreptunghi cu o suprafață de 100 cm 2, astfel încât perimetrul acestui dreptunghi să fie cel mai mic. Care ar trebui să fie laturile acestui dreptunghi?

10. Investigați funcția y=2x 3 -9x 2 +12x-15 pentru un extremum și construiți graficul acesteia.

11. Examinați curba pentru concavitate și convexitate.

12. Aflați intervalele de convexitate și concavitate ale curbei .

13. Aflați punctele de inflexiune ale funcțiilor: a) ; b) .

14. Explorează funcția și construiește graficul acesteia.

15. Explorează funcția și construiește graficul acesteia.

16. Explorați funcția și complotează-l.

17. Găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției y \u003d x 2 -4x + 3 pe segment

Testați întrebări și exemple

1. Definiți o derivată.

2. Ce se numește creșterea argumentului? creșterea funcției?

3. Care este semnificația geometrică a derivatei?

4. Ce se numește diferențiere?

5. Enumeraţi principalele proprietăţi ale derivatei.

6. Ce funcție se numește complexă? înapoi?

7. Dați conceptul de derivată de ordinul doi.

8. Formulați o regulă pentru diferențierea unei funcții complexe?

9. Corpul se deplasează în linie dreaptă conform legii S=S(t). Ce se poate spune despre mișcare dacă:

5. Funcția crește pe un anumit interval. Rezultă de aici că derivata sa este pozitivă pe acest interval?

6. Ce se numește extremele funcției?

7. Cea mai mare valoare a funcției pe un anumit interval coincide în mod necesar cu valoarea funcției în punctul maxim?

8. Funcția este definită pe . Punctul x=a poate fi punctul de extremum al acestei funcții?

10. Derivata functiei in punctul x 0 este zero. Rezultă de aici că x 0 este punctul extremum al acestei funcții?

Test

1. Găsiți derivate ale acestor funcții:

A)	e)
b)	și)
Cu)	h)
e)	și)

2. Scrieţi ecuaţiile tangentelor la parabola y=x 2 -2x-15: a) în punctul cu abscisa x=0; b) în punctul de intersecție al parabolei cu axa absciselor.

3. Determinați intervalele de creștere și scădere ale funcției

4. Explorați funcția și trasați-o

5. Aflați la momentul t=0 viteza și accelerația unui punct care se deplasează conform legii s =2e 3 t

Răspunsuri la exerciții

5.

7.

9.

11.

12.

13.

14.

2.

3.

4. (rezultatul se obține prin utilizarea formulei pentru derivata coeficientului). Puteți rezolva acest exemplu într-un alt mod:

5.

8. Produsul va fi cel mai mare dacă fiecare termen este egal cu 12.

9. Perimetrul dreptunghiului va fi cel mai mic dacă laturile dreptunghiului sunt de 10 cm fiecare, adică. decupați un pătrat.

17. Pe segment, funcția ia cea mai mare valoare, egală cu 3 când x=0 iar cea mai mică valoare egală cu –1 at x=2.

Literatură

1.	Vlasov V.G. Rezumat al prelegerilor de matematică superioară, Moscova, Iris, 96
2.	Tarasov N.P. Curs de matematică superioară pentru școlile tehnice, M., 87
3.	I.I. Valutse, G.D. Diligul Matematica pentru scoli tehnice, M., Stiinte, 90g
4.	I.P.Matskevich, G.P.Svirid Matematică superioară, Minsk, Matematică superioară. Scoala, 93
5.	V.S.Schipachev Fundamentele matematicii superioare, M.Vyssh.shkola89
6.	V.S.Schipachev Matematică superioară, M.Vyssh.shkola 85g
7.	V.P. Minorsky Culegere de probleme de matematică superioară, M. Nauka 67g
8.	O.N.Afanasyeva Colecție de probleme de matematică pentru școlile tehnice, M.Nauka 87g
9.	V.T.Lisichkin, I.L.Soloveichik Matematică, M.Vyssh.shkola 91g
10.	N.V. Bogomolov Lecții practice de matematică, M. Liceu 90
11.	H.E. Krynsky Mathematics for Economists, M. Statistics 70g
12.	L.G.Korsakova Matematică superioară pentru manageri, Kaliningrad, KSU, 97.

COLEGIUL DE COMERȚ ȘI ECONOMIC KALININGRAD

pentru studiul temei

„derivată a unei funcții”

pentru studenții specialității 080110 „Economie și Contabilitate”, 080106 „Finanțe”,
080108 „Banca”, 230103 „ Sisteme automatizate procesarea și managementul informațiilor"

Alcătuit de Fedorova E.A.

KALININGRAD

Recensori: Gorskaya Natalya Vladimirovna, lector, Colegiul de Comerț și Economie din Kaliningrad

În acest manual sunt luate în considerare conceptele de bază ale calculului diferențial: conceptul de derivată, proprietățile derivatelor, aplicarea în geometria analitică și mecanică, sunt date formule de diferențiere de bază, sunt date exemple care ilustrează materialul teoretic. Manualul este completat cu exerciții pentru lucru independent, răspunsuri la acestea, întrebări și exemple de sarcini pentru controlul cunoștințelor intermediare. Conceput pentru studenții care studiază disciplina „Matematică” în instituții de învățământ secundar de specialitate, care studiază cu normă întreagă, cu frecvență redusă, învățământ seral, studenți externi sau care au frecvență gratuită.

KTEK
PCC de Economie și Contabilitate

15 exemplare, 2006

Introducere. patru

Cerințe pentru cunoștințe și abilități.. 5

Conceptul de derivat. 5

Sensul geometric al derivatului. 7

Sensul mecanic al derivatului. 7

Reguli de bază de diferențiere. opt

Formule de diferențiere a funcțiilor de bază. 9

Derivată a funcției inverse. 9

Diferențierea funcțiilor complexe. zece

Derivate de ordin superior. unsprezece

Instrumente derivate private. unsprezece

Investigarea funcţiilor cu ajutorul derivatelor. unsprezece

Funcția de creștere și scădere. unsprezece

Maximul și minimul unei funcții. 13

Convexitatea și concavitatea unei curbe. cincisprezece

Puncte de inflexiune. 16

Schema generală pentru studiul funcțiilor și a graficului. 17

Exerciții de rezolvare. 17

Întrebări de testare și exemple.. 20

Test. douăzeci

Răspunsuri la exerciții.. 21

Literatură. 23

Introducere

Analiza matematică oferă o serie de concepte fundamentale cu care operează un economist - o funcție, o limită, o derivată, o integrală, o ecuație diferențială. În cercetarea economică, terminologia specifică este adesea folosită pentru a se referi la derivate. De exemplu, dacă f(x) este o funcție de producție care exprimă dependența producției oricărui produs de costul factorului X, apoi sunat produs marginal; dacă g(x) este o funcție de cost, adică funcţie g(x) exprimă dependența costurilor totale de volumul producției x, atunci g′(x) numit costul marginal.

Analiza marginală în economie- un set de metode pentru studierea valorilor variabile ale costurilor sau rezultatelor atunci când se modifică volumele de producție, consum etc. pe baza analizei valorilor limită ale acestora.

De exemplu, găsirea productivității. Lasă funcția u=u(t), exprimând cantitatea de produse produse uîn timpul lucrului t. Să calculăm cantitatea de mărfuri produse în acest timp ∆t=t 1 - t 0:

u=u(t 1)-u(t 0)=u(t 0 +∆t)-u(t 0).

Productivitatea medie a muncii este raportul dintre cantitatea de producție produsă și timpul petrecut, adică z cf. =

Productivitatea muncitoruluiîn momentul t 0 se numeşte limita la care z cf. la ∆t→ 0: . Prin urmare, calculul productivității muncii se reduce la calculul derivatei:

costurile productiei K produse omogene este o funcţie de cantitatea de produse X, ca să putem scrie K=K(x). Să presupunem că cantitatea de producție crește cu ∆x. Cantitatea de producție x+∆x corespunde costurilor de producție K(x+∆x). Prin urmare, creșterea cantității de producție ∆x corespunde creşterii costurilor de producţie ∆K=K(x+∆x)- K(x).

Creșterea medie a costurilor de producție este ∆K/∆x. Aceasta este creșterea costurilor de producție per unitate de creștere a cantității de producție.

Limită numit costul marginal de producție.