Care este logaritmul zecimal al lui zero. Ce este un logaritm zecimal? Caracteristicile logaritmilor zecimali

Deci, avem puteri de doi. Dacă luați numărul din linia de jos, atunci puteți găsi cu ușurință puterea la care trebuie să ridicați un doi pentru a obține acest număr. De exemplu, pentru a obține 16, trebuie să ridicați doi la a patra putere. Și pentru a obține 64, trebuie să ridici doi la a șasea putere. Acest lucru se vede din tabel.

Și acum - de fapt, definiția logaritmului:

Baza a logaritmului argumentului x este puterea la care trebuie ridicat numărul a pentru a obține numărul x .

Notație: log a x \u003d b, unde a este baza, x este argumentul, b este de fapt egal cu logaritmul.

De exemplu, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (logaritmul de bază 2 al lui 8 este trei deoarece 2 3 = 8). Ar putea la fel de bine să înregistreze 2 64 = 6, deoarece 2 6 = 64.

Operația de găsire a logaritmului unui număr la o bază dată se numește logaritm. Deci, să adăugăm un nou rând la tabelul nostru:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Din păcate, nu toți logaritmii sunt considerați atât de ușor. De exemplu, încercați să găsiți log 2 5. Numărul 5 nu este în tabel, dar logica dictează că logaritmul va fi undeva pe segment. Pentru că 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Astfel de numere se numesc iraționale: numerele de după virgulă pot fi scrise la nesfârșit și nu se repetă niciodată. Dacă logaritmul se dovedește a fi irațional, este mai bine să-l lăsați astfel: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Este important de înțeles că logaritmul este o expresie cu două variabile (bază și argument). La început, mulți oameni confundă unde este baza și unde este argumentul. Pentru a evita neînțelegerile enervante, aruncați o privire la imagine:

În fața noastră nu este altceva decât definiția logaritmului. Tine minte: logaritmul este puterea, la care trebuie să ridicați baza pentru a obține argumentul. Este baza care este ridicată la o putere - în imagine este evidențiată cu roșu. Se dovedește că baza este întotdeauna în jos! Le spun studenților mei această regulă minunată chiar de la prima lecție - și nu există nicio confuzie.

Ne-am dat seama de definiție - rămâne să învățăm cum să numărăm logaritmii, adică. scapă de semnul „bușten”. Pentru început, observăm că din definiție rezultă două fapte importante:

1. Argumentul și baza trebuie să fie întotdeauna mai mari decât zero. Aceasta rezultă din definirea gradului de către un exponent rațional, la care se reduce definiția logaritmului.
2. Baza trebuie să fie diferită de unitate, deoarece o unitate pentru orice putere este încă o unitate. Din această cauză, întrebarea „la ce putere trebuie ridicat cineva pentru a obține doi” este lipsită de sens. Nu există o astfel de diplomă!

Se numesc astfel de restricții interval valid(ODZ). Rezultă că ODZ a logaritmului arată astfel: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Rețineți că nu există restricții cu privire la numărul b (valoarea logaritmului) nu este impus. De exemplu, logaritmul poate fi foarte negativ: log 2 0.5 = −1, deoarece 0,5 = 2 −1 .

Totuși, acum luăm în considerare doar expresii numerice, unde nu este necesar să cunoaștem ODZ a logaritmului. Toate restricțiile au fost deja luate în considerare de către compilatorii problemelor. Dar când intră în joc ecuațiile logaritmice și inegalitățile, cerințele DHS vor deveni obligatorii. Într-adevăr, în bază și argument pot exista construcții foarte puternice, care nu corespund neapărat restricțiilor de mai sus.

Acum luați în considerare schema generală de calcul a logaritmilor. Acesta constă din trei etape:

1. Exprimați baza a și argumentul x ca o putere cu cea mai mică bază posibilă mai mare decât unu. Pe parcurs, este mai bine să scapi de fracțiile zecimale;
2. Rezolvați ecuația pentru variabila b: x = a b ;
3. Numărul rezultat b va fi răspunsul.

Asta e tot! Dacă logaritmul se dovedește a fi irațional, acest lucru se va vedea deja la primul pas. Cerința ca baza să fie mai mare decât unu este foarte relevantă: aceasta reduce probabilitatea de eroare și simplifică foarte mult calculele. La fel și cu fracțiile zecimale: dacă le convertiți imediat în cele obișnuite, vor exista de multe ori mai puține erori.

Să vedem cum funcționează această schemă cu exemple specifice:

O sarcină. Calculați logaritmul: log 5 25

1. Să reprezentăm baza și argumentul ca o putere a lui cinci: 5 = 5 1 ; 25 = 52;
2. Să facem și să rezolvăm ecuația:
   log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
3. A primit un raspuns: 2.

O sarcină. Calculați logaritmul:

O sarcină. Calculați logaritmul: log 4 64

1. Să reprezentăm baza și argumentul ca o putere a doi: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Să facem și să rezolvăm ecuația:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
3. A primit un raspuns: 3.

O sarcină. Calculați logaritmul: log 16 1

1. Să reprezentăm baza și argumentul ca o putere a doi: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Să facem și să rezolvăm ecuația:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
3. A primit un raspuns: 0.

O sarcină. Calculați logaritmul: log 7 14

1. Să reprezentăm baza și argumentul ca o putere de șapte: 7 = 7 1 ; 14 nu este reprezentat ca o putere a șapte, deoarece 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Din paragraful anterior rezultă că logaritmul nu este luat în considerare;
3. Răspunsul este fără schimbare: log 7 14.

O mică notă despre ultimul exemplu. Cum să vă asigurați că un număr nu este o putere exactă a altui număr? Foarte simplu - doar descompuneți-l în factori primi. Și dacă astfel de factori nu pot fi colectați într-un grad cu aceiași indicatori, atunci numărul inițial nu este un grad exact.

O sarcină. Aflați dacă puterile exacte ale numărului sunt: ​​8; 48; 81; 35; paisprezece.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 este gradul exact, deoarece există un singur multiplicator;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 nu este o putere exactă deoarece există doi factori: 3 și 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - grad exact;
35 \u003d 7 5 - din nou nu este un grad exact;
14 \u003d 7 2 - din nou nu este un grad exact;

De asemenea, observăm că noi numere prime sunt întotdeauna puteri exacte ale lor.

Logaritm zecimal

Unii logaritmi sunt atât de comune încât au un nume și o denumire specială.

Logaritmul zecimal al argumentului x este logaritmul de bază 10, adică. puterea la care trebuie să ridici numărul 10 pentru a obține numărul x. Denumire: lg x .

De exemplu, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - etc.

De acum înainte, când în manual apare o expresie precum „Găsiți lg 0.01”, să știți că aceasta nu este o greșeală de tipar. Acesta este logaritmul zecimal. Cu toate acestea, dacă nu sunteți obișnuit cu o astfel de desemnare, o puteți rescrie oricând:
log x = log 10 x

Tot ceea ce este adevărat pentru logaritmii obișnuiți este valabil și pentru zecimale.

logaritmul natural

Există un alt logaritm care are propria sa notație. Într-un fel, este chiar mai important decât zecimalul. Acesta este logaritmul natural.

Logaritmul natural al argumentului x este logaritmul la baza e , i.e. puterea la care trebuie ridicat numărul e pentru a obține numărul x. Denumire: ln x .

Mulți se vor întreba: ce altceva este numărul e? Acesta este un număr irațional, valoarea lui exactă nu poate fi găsită și notă. Iată doar primele numere:
e = 2,718281828459...

Nu vom aprofunda ce este acest număr și de ce este necesar. Nu uitați că e este baza logaritmului natural:
ln x = log e x

Astfel ln e = 1; log e 2 = 2; ln e 16 = 16 - etc. Pe de altă parte, ln 2 este un număr irațional. În general, logaritmul natural al oricărui număr rațional este irațional. Cu excepția, desigur, unității: ln 1 = 0.

Pentru logaritmii naturali, toate regulile care sunt adevărate pentru logaritmii obișnuiți sunt valabile.

Sunt date principalele proprietăți ale logaritmului, graficul logaritmului, domeniul de definiție, setul de valori, formulele de bază, creșterea și scăderea. Se ia în considerare găsirea derivatei logaritmului. La fel ca integrală, extinderea seriei de putere și reprezentarea prin intermediul numerelor complexe.

Conţinut

Domeniu, set de valori, crescător, descendent

Logaritmul este o funcție monotonă, deci nu are extreme. Principalele proprietăți ale logaritmului sunt prezentate în tabel.

Domeniu	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
Gama de valori	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
Monoton	crește monoton	scade monoton
Zerouri, y= 0	x= 1	x= 1
Puncte de intersecție cu axa y, x = 0	Nu	Nu
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

Valori private

Se numește logaritmul de bază 10 logaritm zecimal si este marcat astfel:

logaritm de bază e numit logaritmul natural:

Formule logaritmice de bază

Proprietățile logaritmului care rezultă din definiția funcției inverse:

Principala proprietate a logaritmilor și consecințele acesteia

Formula de înlocuire a bazei

Logaritmul este operația matematică de luare a unui logaritm. Când se ia un logaritm, produsele factorilor sunt convertite în sume de termeni.
Potențiarea este operația matematică inversă logaritmului. La potențare, baza dată este ridicată la puterea expresiei pe care se realizează potențarea. În acest caz, sumele termenilor sunt convertite în produse de factori.

Dovada formulelor de bază pentru logaritmi

Formulele legate de logaritmi decurg din formulele pentru funcții exponențiale și din definiția unei funcții inverse.

Luați în considerare proprietatea funcției exponențiale
.
Apoi
.
Aplicați proprietatea funcției exponențiale
:
.

Să demonstrăm formula schimbării bazei.
;
.
Punând c = b , avem:

Funcție inversă

Reciproca bazei a logaritmului este funcția exponențială cu exponentul a.

Daca atunci

Daca atunci

Derivată a logaritmului

Derivată a logaritmului modulo x :
.
Derivată de ordinul al n-lea:
.
Derivarea formulelor > > >

Pentru a găsi derivata unui logaritm, aceasta trebuie redusă la bază e.
;
.

Integral

Integrala logaritmului se calculează prin integrarea pe părți : .
Asa de,

Expresii în termeni de numere complexe

Luați în considerare funcția număr complex z:
.
Să exprimăm un număr complex z prin modul r si argument φ :
.
Apoi, folosind proprietățile logaritmului, avem:
.
Sau

Cu toate acestea, argumentul φ nu este clar definit. Dacă punem
, unde n este un număr întreg,
atunci va fi același număr pentru diferit n.

Prin urmare, logaritmul, ca funcție a unei variabile complexe, nu este o funcție cu o singură valoare.

Extinderea seriei de putere

Pentru , expansiunea are loc:

Referinte:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți ai instituțiilor de învățământ superior, Lan, 2009.

Vezi si:

Din program liceu se știe că

orice număr pozitiv poate fi reprezentat ca număr 10 într-o oarecare măsură.

Cu toate acestea, acest lucru este simplu atunci când numărul este un multiplu de 10.
Exemplu :

• număr100 este 10x10 sau 102
• numărul 1000 este 10x10x10 sau 103
• șietc.

Cum să fii în cazul în care, de exemplu, este necesar să exprimăm numărul 8299 ca număr 10 într-o oarecare măsură? Cum să găsiți acest număr cu un anumit grad de precizie, care în acest caz este 3.919 ...?

Ieșirea este logaritmică și tabele logaritmice

Cunoașterea logaritmilor și capacitatea de a utiliza tabele logaritmice pot simplifica foarte mult multe operații aritmetice complexe.Logaritmii zecimali sunt convenabil pentru utilizare practică.

Referință istorică.
Principiul care stă la baza oricărui sistem de logaritmi este cunoscut de foarte mult timp și poate fi urmărit până la matematica antică babiloniană (circa 2000 î.Hr.). Cu toate acestea, primele tabele de logaritmi au fost compilate independent de matematicianul scoțian HUJ. Napier (1550-1617) și elvețianul I. Burgi (1552-1632). Primele tabele de logaritmi zecimali au fost întocmite și publicate de matematicianul englez G. Briggs (1561-1630).

Invităm cititorul, fără a pătrunde adânc în esența matematică a problemei, să rețină sau să restabilească în memorie câteva definiții, concluzii și formule simple:

• Definiţia logarithmA.

Logaritmul unui număr dat este exponentul la care trebuie ridicat un alt număr, numit baza logaritmului (A ) pentru a obține numărul dat.

• Pentru fiecare bază, logaritmul unității este zero:

a0 = 1

• Numerele negative nu au logaritmi
• Fiecare număr pozitiv are un logaritm
• Cu o bază mai mare decât 1, logaritmii numerelor mai mici decât 1 sunt negativi, iar logaritmii numerelor mai mari decât 1 sunt pozitivi
• Logaritmul de bază este 1
• Numărul mai mare corespunde unui logaritm mai mare
• Pe măsură ce numărul crește de la 0 la 1, logaritmul său crește de la-∞ la 0; cu numărul crescând de la 1 la+∞ logaritmul său crește de la 1 la+∞ (unde, ±∞ - un semn adoptat în matematică pentru a desemna infinitate negativă sau pozitivă de numere)
• Pentru utilizare practică, logaritmii sunt convenabil, a căror bază este numărul 10

Acești logaritmi se numesc logaritmi zecimali și se noteazălg . De exemplu:

• logaritmul numărului 10 la baza 10 este 1. Cu alte cuvinte, numărul 10 trebuie ridicat la prima putere pentru a obține numărul 10 (101 = 10), adică.log10 = 1
• logaritmul de la 100 la baza 10 este 2. Cu alte cuvinte, numărul 10 trebuie să fie pătrat pentru a obține numărul 100 (102 = 100), adică. lg100 = 2

U Concluzia #1 U : logaritmul unui număr întreg reprezentat de o unitate cu zerouri este un întreg pozitiv care conține atâtea câte zerouri există în reprezentarea numărului

• logaritmul de bază 10 de 0,1 este -1. Cu alte cuvinte, numărul 10 trebuie ridicat la prima putere minus pentru a obține numărul 0,1 (10-1 = 0,1), adică.log0,1 = -1
• Logaritmul în baza 10 de 0,01 este -2. Cu alte cuvinte, numărul 10 trebuie ridicat la puterea minus secundă pentru a obține numărul 0,1 (10-2 = 0,01), adică.lg0,01 = -2

U Concluzia #2 U : logaritm fracție zecimală, reprezentată printr-o unitate cu zerouri înainte, este un număr întreg negativ care conține atâtea unități negative câte zerouri există în imaginea unei fracții, numărând, printre altele, 0 numere întregi

• în conformitate cu definiția nr. 1 (a se vedea mai sus):

lg1 = 0

• logaritmul numărului 8300 la baza 10 este 3,9191 ... Cu alte cuvinte, numărul 10 trebuie ridicat la puterea de 3,9191 ... pentru a obține numărul 8300 (103,9191 ... = 8300), adică. lg8300 =3,9191...

U Concluzia #3 U : logaritmul unui număr neexprimat printr-o unitate cu zerouri este un număr irațional și, prin urmare, nu poate fi exprimat exact în termeni de numere.
De obicei, logaritmii iraționali sunt exprimați aproximativ ca o fracție zecimală cu mai multe zecimale. Numărul întreg al acestei fracții (chiar dacă era „0 numere întregi”) este numit caracteristică, iar partea fracțională este mantisa logaritm. Dacă, de exemplu, logaritmul este 1,5441 , atunci caracteristica sa este 1 , iar mantisa este 0,5441 .

• Principalele proprietăți ale logaritmilor, incl. zecimal:
• logaritmul produsului este egal cu suma logaritmilor factorilor:lg( A. b)= lga+ lgb
• logaritmul coeficientului este egal cu logaritmul dividendului fără logaritmul divizorului, adică. Logaritmul unei fracții este egal cu logaritmul numărătorului fără logaritmul numitorului:

• logaritmii a două numere reciproce din aceeași bază diferă unul de celălalt doar prin semn

• logaritmul gradului este egal cu produsul exponentului și logaritmul bazei acestuia, i.e. Logaritmul unei puteri este egal cu exponentul acelei puteri înmulțit cu logaritmul numărului ridicat la putere:

lg( bk)= k. lg b

Pentru a înțelege în sfârșit care este logaritmul zecimal al unui număr arbitrar, să ne uităm la câteva exemple în detaliu.

U Exemplul #2.1.1 U.
Să luăm un număr întreg, cum ar fi 623, și un număr mixt, cum ar fi 623,57.
Știm că logaritmul unui număr constă dintr-o caracteristică și o mantise.
Să numărăm câte cifre sunt într-un număr întreg dat sau în partea întreagă a unui număr mixt. În exemplele noastre, aceste numere sunt 3.
Prin urmare, fiecare dintre numerele 623 și 623,57 este mai mare decât 100, dar mai mic decât 1000.
Astfel, putem concluziona că logaritmul fiecăruia dintre aceste numere va fi mai mare decât lg 100, adică mai mult de 2, dar mai mic de lg 1000, adică mai mic de 3 (amintim că Mai mult are un logaritm mai mare).
Prin urmare:
lg 623 = 2,...
lg 623,57 = 2,...
(punctele înlocuiesc mantise necunoscute).

U Concluzia #4 U : logaritmii zecimali au avantajul că caracteristica lor poate fi găsită întotdeauna printr-un singur tip de număr .

Să presupunem că, în general, un număr întreg dat, sau o parte întreagă a unui număr mixt dat, conține m cifre. Deoarece cel mai mic număr întreg care conține m cifre este unul cu m-1 zerouri la sfârșit, atunci (notând acest număr N) putem scrie inegalitatea:

Prin urmare,
m-1< lg N < m,
de aceea
lg N = (m-1) + fracție pozitivă.
mijloace
Caracteristica lgN = m-1

U Concluzia #5 U : caracteristica logaritmului zecimal al unui număr întreg sau mixt conține atâtea pozitive câte cifre sunt în partea întreagă a numărului fără una.

U Exemplul #2.1.2.

Acum să luăm câteva zecimale, adică numere mai mici decât 1 (cu alte cuvinte având 0 numere întregi):
0,35; 0,07; 0,0056; 0,0008 etc.
Logaritmii fiecăruia dintre aceste numere vor fi între două numere întregi negative care diferă cu o unitate. Mai mult, fiecare dintre ele este egal cu cel mai mic dintre aceste numere negative, mărite cu o fracție pozitivă.
De exemplu,
lg0,0056= -3 + fracție pozitivă
În acest caz, fracția pozitivă va fi egală cu 0,7482.
Apoi:
log 0,0056 = -3 + 0,7482
U Note U:
Sume precum -3 + 0,7482, constând dintr-un număr întreg negativ și o fracție zecimală pozitivă, au convenit să fie scrise abreviate în calcule logaritmice, după cum urmează:
,7482
(se citește un astfel de număr: cu minus, 7482 zecemiimi), adică pun semn minus peste caracteristică pentru a arăta că se referă doar la această caracteristică, și nu la mantise, care rămâne pozitivă.

Deci numerele de mai sus pot fi scrise ca logaritmi zecimali
log 0,35 =, …
log 0,07 =, …
log 0,00008 =, …
În general, să fie numărul A o fracție zecimală, care are m zerouri înainte de prima cifră semnificativă α, numărând, printre altele, 0 numere întregi:

atunci este evident că

Prin urmare:

adică
-m< log A < -(m-1).
Deoarece din două numere întregi:
-m și -(m-1) mai puțin este -m
apoi
lg A \u003d -m + fracție pozitivă

U Concluzia nr. 6 U : caracteristică logaritmului unei fracții zecimale, adică numere mai mici decât 1, conține atâtea negative câte zerouri există în imaginea unei fracții zecimale înaintea primei cifre semnificative, numărând, printre altele, numere întregi zero; mantisa unui astfel de logaritm este pozitivă

Exemplul #2.1.3.

Să înmulțim un număr N (întreg sau fracționar - nu contează) cu 10, cu 100 cu 1000..., în general cu 1 cu zerouri, și să vedem cum se modifică lg N față de acesta.
Deoarece logaritmul produsului este egal cu suma logaritmilor factorilor, atunci
lg (N.10) = lg N + lg 10 = lg N + 1;
lg (N.100) = lg N + lg 100 = lg N + 2;
lg (N.1000) = lg N + lg 1000 = lg N + 3 etc.

Când adăugăm un număr întreg la lg N, acest număr este întotdeauna adăugat la caracteristică; mantisa rămâne întotdeauna neschimbată în aceste cazuri.

Exemplu
dacă log N = 2,7804, atunci 2,7804 + 1 = 3,7804; 2,7804 + 2 = 4,7801 etc.;
sau dacă log N = 3,5649, atunci 3,5649 + 1 = 2,5649; 3,5649 - 2 = 1,5649 etc.

Concluzia nr. 7 : de la înmulțirea unui număr cu 10, 100, 1000, .., în general cu 1 cu zerouri, mantisa logaritmului nu se modifică, iar caracteristica crește cu atâtea unități câte zerouri sunt în factor.

În mod similar, ținând cont că logaritmul coeficientului este egal cu logaritmul dividendului fără logaritmul divizorului, obținem:
lg N/10 = lg N - lg 10 = lg N - 1;
log N/100 = log N - log 100 = log N - 2;
log N/1000 = log N - log 1000 = log N - 3 etc.
Când un număr întreg este scăzut din lg N din logaritm, acest număr întreg ar trebui să fie întotdeauna scăzut din caracteristică, iar mantisa trebuie lăsată neschimbată. atunci poti spune:

Concluzia nr. 8 : De la împărțirea unui număr la 1 cu zerouri, mantisa logaritmului nu se modifică, iar caracteristica scade cu atâtea unități câte zerouri sunt în divizor.

Concluzia nr. 9 : mantisa logaritmului unui număr zecimal nu se schimbă de la mutarea unei virgule în număr, deoarece mutarea unei virgule echivalează cu înmulțirea sau împărțirea cu 10, 100, 1000 etc.

Astfel, logaritmii numerelor:
0,00423, 0,0423, 4,23, 423
diferă doar în caracteristici, dar nu și în mantise (cu condiția ca toate mantisele să fie pozitive).

Concluzia nr. 9 : mantisele numerelor care au aceeași parte semnificativă, dar diferă doar prin zerouri la sfârșit, sunt aceleași: de exemplu, logaritmii numerelor: 23, 230, 2300, 23.000 diferă doar prin caracteristici.

\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

Să explicăm mai ușor. De exemplu, \(\log_(2)(8)\) este egal cu puterea \(2\) care trebuie ridicată pentru a obține \(8\). Din aceasta rezultă clar că \(\log_(2)(8)=3\).

Exemple:		\(\log_(5)(25)=2\)		deoarece \(5^(2)=25\)
		\(\log_(3)(81)=4\)		deoarece \(3^(4)=81\)
		\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)		deoarece \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argumentul și baza logaritmului

Orice logaritm are următoarea „anatomie”:

Argumentul logaritmului este scris de obicei la nivelul său, iar baza este scrisă în indice mai aproape de semnul logaritmului. Și această intrare se citește astfel: „logaritmul lui douăzeci și cinci la baza lui cinci”.

Cum se calculează logaritmul?

Pentru a calcula logaritmul, trebuie să răspundeți la întrebarea: în ce măsură ar trebui ridicată baza pentru a obține argumentul?

De exemplu, calculați logaritmul: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) La ce putere trebuie ridicat \(4\) pentru a obține \(16\)? Evident, al doilea. De aceea:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) La ce putere trebuie ridicată \(\sqrt(5)\) pentru a obține \(1\)? Și ce grad face orice număr o unitate? Zero, desigur!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) La ce putere trebuie ridicată \(\sqrt(7)\) pentru a obține \(\sqrt(7)\)? În primul - orice număr din primul grad este egal cu el însuși.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) La ce putere trebuie ridicată \(3\) pentru a obține \(\sqrt(3)\)? Din știm că este o putere fracțională, ceea ce înseamnă Rădăcină pătrată este gradul \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Exemplu : Calculați logaritmul \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Soluţie :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Trebuie să găsim valoarea logaritmului, să o notăm cu x. Acum să folosim definiția logaritmului: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Leftrightarrow\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Ce legături leagă \(4\sqrt(2)\) și \(8\)? Doi, deoarece ambele numere pot fi reprezentate prin doi: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		În stânga, folosim proprietățile gradului: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) și \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Bazele sunt egale, trecem la egalitatea indicatorilor
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \(\frac(2)(5)\)
		Rădăcina rezultată este valoarea logaritmului

Răspuns : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

De ce a fost inventat logaritmul?

Pentru a înțelege acest lucru, să rezolvăm ecuația: \(3^(x)=9\). Doar potriviți \(x\) pentru ca egalitatea să funcționeze. Desigur, \(x=2\).

Acum rezolvați ecuația: \(3^(x)=8\). Cu ce ​​este x egal? Acesta este ideea.

Cel mai ingenios va spune: „X este puțin mai puțin de doi”. Cum anume trebuie scris acest număr? Pentru a răspunde la această întrebare, au venit cu logaritmul. Datorită lui, răspunsul de aici poate fi scris ca \(x=\log_(3)(8)\).

Vreau să subliniez faptul că \(\log_(3)(8)\), precum și orice logaritm este doar un număr. Da, pare neobișnuit, dar este scurt. Pentru că dacă am vrea să-l scriem ca zecimală, ar arăta astfel: \(1.892789260714.....\)

Exemplu : Rezolvați ecuația \(4^(5x-4)=10\)

Soluţie :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) și \(10\) nu pot fi reduse la aceeași bază. Așa că aici nu puteți face fără logaritm. Să folosim definiția logaritmului: \(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Întoarceți ecuația astfel încât x să fie în stânga
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Înaintea noastră. Deplasați \(4\) la dreapta. Și nu vă fie teamă de logaritm, tratați-l ca pe un număr obișnuit.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Împărțiți ecuația la 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Aici este rădăcina noastră. Da, pare neobișnuit, dar răspunsul nu este ales.

Răspuns : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Logaritmi zecimali și naturali

După cum se precizează în definiția logaritmului, baza acestuia poate fi orice număr pozitiv, cu excepția unuia \((a>0, a\neq1)\). Și dintre toate bazele posibile, există două care apar atât de des încât a fost inventată o notație scurtă specială pentru logaritmi cu ele:

Logaritm natural: un logaritm a cărui bază este numărul Euler \(e\) (egal cu aproximativ \(2,7182818…\)), iar logaritmul se scrie ca \(\ln(a)\).

Acesta este, \(\ln(a)\) este același cu \(\log_(e)(a)\)

Logaritm zecimal: Un logaritm a cărui bază este 10 se scrie \(\lg(a)\).

Acesta este, \(\lg(a)\) este același cu \(\log_(10)(a)\), unde \(a\) este un număr.

Identitatea logaritmică de bază

Logaritmii au multe proprietăți. Una dintre ele se numește „Identitatea logaritmică de bază” și arată astfel:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Această proprietate decurge direct din definiție. Să vedem cum a apărut exact această formulă.

Reamintim scurta definiție a logaritmului:

dacă \(a^(b)=c\), atunci \(\log_(a)(c)=b\)

Adică, \(b\) este același cu \(\log_(a)(c)\). Apoi putem scrie \(\log_(a)(c)\) în loc de \(b\) în formula \(a^(b)=c\) . S-a dovedit \(a^(\log_(a)(c))=c\) - principala identitate logaritmică.

Puteți găsi restul proprietăților logaritmilor. Cu ajutorul lor, puteți simplifica și calcula valorile expresiilor cu logaritmi, care sunt dificil de calculat direct.

Exemplu : Găsiți valoarea expresiei \(36^(\log_(6)(5))\)

Soluţie :

Răspuns : \(25\)

Cum se scrie un număr ca logaritm?

După cum am menționat mai sus, orice logaritm este doar un număr. Este adevărat și invers: orice număr poate fi scris ca logaritm. De exemplu, știm că \(\log_(2)(4)\) este egal cu doi. Apoi puteți scrie \(\log_(2)(4)\) în loc de două.

Dar \(\log_(3)(9)\) este, de asemenea, egal cu \(2\), deci puteți scrie și \(2=\log_(3)(9)\) . În mod similar cu \(\log_(5)(25)\), și cu \(\log_(9)(81)\), etc. Adică se dovedește

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Astfel, dacă avem nevoie, le putem scrie pe cele două ca logaritm cu orice bază oriunde (chiar și într-o ecuație, chiar și într-o expresie, chiar și într-o inegalitate) - scriem doar baza pătrată ca argument.

Este același lucru cu un triplu - poate fi scris ca \(\log_(2)(8)\), sau ca \(\log_(3)(27)\), sau ca \(\log_(4)( 64) \) ... Aici scriem baza în cub ca argument:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Și cu patru:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Și cu minus unu:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

Și cu o treime:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Orice număr \(a\) poate fi reprezentat ca un logaritm cu baza \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Exemplu : Găsiți valoarea unei expresii \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Soluţie :

Răspuns : \(1\)