Cum să găsiți aria unui triunghi dreptunghic într-un mod neobișnuit. Cum să găsiți aria unui triunghi dreptunghic într-un mod neobișnuit Aria unui triunghi este un unghi drept

Aria unui triunghi dreptunghic poate fi găsită în mai multe moduri. Un unghi drept în orice figură îi adaugă proprietăți și aceasta poate fi folosită pentru a rezolva corect și rapid problemele.

Triunghi dreptunghic

Mai întâi, să discutăm triunghiul dreptunghic în sine, caracteristicile și proprietățile sale. Un triunghi dreptunghic este un triunghi care conține un unghi.

Un triunghi dreptunghic nu poate fi obtuz, pentru că atunci suma unghiurilor triunghiului ar depăși 180 de grade, ceea ce este imposibil.

Într-un triunghi dreptunghic, două din cele trei altitudini coincid cu laturile - picioarele. Din același motiv, punctul de intersecție al altitudinilor unui triunghi dreptunghic coincide cu vârful în unghi drept.

Orez. 1. Toate înălțimile unui triunghi dreptunghic.

Același punct va fi centrul cercului circumscris.

Aria unui triunghi

Aria unui triunghi se găsește de obicei folosind formula standard, ca jumătate din produsul bazei și înălțimea trasă la această bază.

$$S=(1\peste2)*a*h$$

Puteți găsi aria ca jumătate din produsul laturilor și sinusul unghiului dintre ele:

$$S=(1\peste2)*a*b*sin(g)$$

Există formule complicate pentru găsirea zonei, dar sunt folosite extrem de rar.

Aria unui triunghi dreptunghic

Aria unui triunghi dreptunghic se găsește folosind aceleași formule, dar în unele cazuri aceste formule pot fi simplificate.

De exemplu, puteți profita de faptul că altitudinile dintr-un triunghi dreptunghic coincid cu catetele. Apoi formula standard devine:

$S=(1\over2)*a*b$, unde a și b sunt catetele unui triunghi dreptunghic.

Aceasta este una dintre cele mai simple formule pentru aria unui triunghi dreptunghic. Să încercăm să transformăm a doua formulă.

$$S=(1\peste2)*a*b*sin(g)$$

Dacă ne amintim că sinusul unui unghi este raportul dintre latura opusă ipotenuzei. În cazul nostru, notăm catetul opus ca litera f, deoarece a este un catet adiacent, iar un unghi ascuțit poate fi încheiat doar între catete și ipotenuză. Deci b este ipotenuza.

$S=(1\over2)*a*b*sin(g)= (1\over2)*a*b*(f\over(b))=(1\over2)a*f$ - totul se dovedește aceeași formulă.

Orez. 2. Tragerea la concluzie.

Aceasta înseamnă că am realizat prima concluzie corect, iar un triunghi dreptunghic are o singură formulă specială pentru găsirea ariei. Dacă nu funcționează, puteți folosi formule generale. Acestea sunt două moduri posibile de a calcula suprafața.

De exemplu, dacă ipotenuza este cunoscută în funcție de condițiile problemei, atunci puteți încerca să găsiți înălțimea care cade pe ipotenuză și să determinați aria folosind formula generală. Folosind același principiu, puteți găsi aria prin sinus dacă ipotenuza și catetul sunt cunoscute.

Orez. 3. Înălțimea trasată la ipotenuză.

Principalul lucru de reținut este că orice problemă are întotdeauna 3 soluții și rezolvați fiecare în cel mai convenabil mod.

Ce am învățat?

Am vorbit despre triunghiuri dreptunghiulare și am derivat formula pentru aria unui triunghi dreptunghic folosind catetele. Am discutat despre formulele generale pentru aria triunghiurilor și am spus că fiecare dintre aceste formule ar funcționa pentru rezolvarea unui triunghi dreptunghic.

Test pe tema

Evaluarea articolului

Evaluare medie: 4.5. Evaluări totale primite: 115.

Un triunghi dreptunghic se găsește în realitate aproape la fiecare colț. Cunoașterea proprietăților unei figuri date, precum și capacitatea de a calcula aria acesteia, vă vor fi, fără îndoială, utile nu numai pentru rezolvarea problemelor de geometrie, ci și în situații de viață.

Geometria triunghiului

În geometria elementară, un triunghi dreptunghic este o figură care constă din trei segmente conectate care formează trei unghiuri (două acute și unul drept). Triunghiul dreptunghic este o figură originală caracterizată printr-o serie de proprietăți importante care formează fundamentul trigonometriei. Spre deosebire de un triunghi obișnuit, laturile unei figuri dreptunghiulare au propriile nume:

• Ipotenuza este cea mai lungă latură a unui triunghi, opusă unghiului drept.
• Picioarele sunt segmente care formează un unghi drept. În funcție de unghiul luat în considerare, piciorul poate fi adiacent acestuia (formând acest unghi cu ipotenuza) sau opus (aflat opus unghiului). Nu există picioare pentru triunghiuri care nu sunt drepte.

Raportul catetelor și ipotenuzei formează baza trigonometriei: sinusurile, tangentele și secantele sunt definite ca raportul laturilor unui triunghi dreptunghic.

Triunghi dreptunghic în realitate

Această cifră a devenit larg răspândită în realitate. Triunghiurile sunt folosite în design și tehnologie, astfel încât calcularea ariei unei figuri trebuie făcută de ingineri, arhitecți și designeri. Bazele tetraedrelor sau prismelor - figuri tridimensionale care sunt ușor de întâlnit în viața de zi cu zi - au forma unui triunghi. În plus, un pătrat este cea mai simplă reprezentare a unui triunghi dreptunghic „plat” în realitate. Patratul este o prelucrare a metalelor, desen, constructii si unealtă de tâmplărie, care este folosit pentru a construi unghiuri atât de școlari, cât și de ingineri.

Aria unui triunghi

Aria unei figuri geometrice este o estimare cantitativă a cât de mult din plan este delimitată de laturile triunghiului. Aria unui triunghi obișnuit poate fi găsită în cinci moduri, folosind formula lui Heron sau folosind variabile precum baza, latura, unghiul și raza cercului înscris sau circumscris. Cea mai simplă formulă pentru suprafață este exprimată astfel:

unde a este latura triunghiului, h este înălțimea acestuia.

Formula pentru calcularea ariei unui triunghi dreptunghic este și mai simplă:

unde a și b sunt catete.

Lucrând cu calculatorul nostru online, puteți calcula aria unui triunghi folosind trei perechi de parametri:

• două picioare;
• piciorul și unghiul adiacent;
• picior și unghi opus.

În probleme sau situații de zi cu zi vi se vor oferi diferite combinații de variabile, astfel încât această formă a calculatorului vă permite să calculați aria unui triunghi în mai multe moduri. Să ne uităm la câteva exemple.

Exemple din viața reală

Placi ceramice

Să presupunem că vrei să aranjezi pereții bucătăriei. placi ceramice, care are forma unui triunghi dreptunghic. Pentru a determina consumul de plăci, trebuie să aflați suprafața unui element de placare și suprafata totala suprafata tratata. Să presupunem că trebuie să procesați 7 metri patrati. Lungimea picioarelor unui element este de 19 cm, apoi aria plăcii va fi egală cu:

Aceasta înseamnă că aria unui element este de 24,5 centimetri pătrați sau 0,01805 metri pătrați. Cunoscând acești parametri, puteți calcula că pentru a finisa 7 metri pătrați de perete veți avea nevoie de 7/0,01805 = 387 elemente de plăci de parament.

Sarcina școlară

Să presupunem că într-o problemă de geometrie școlară trebuie să găsiți aria unui triunghi dreptunghic, știind doar că latura unui picior este de 5 cm, iar unghiul opus este de 30 de grade. Calculatorul nostru online vine cu o ilustrație care arată laturile și unghiurile unui triunghi dreptunghic. Dacă latura a = 5 cm, atunci unghiul ei opus este unghiul alfa, egal cu 30 de grade. Introduceți aceste date în formularul calculatorului și obțineți rezultatul:

Astfel, calculatorul nu numai că calculează aria unui triunghi dat, ci determină și lungimea catetei adiacente și a ipotenuzei, precum și valoarea celui de-al doilea unghi.

Concluzie

Triunghiuri dreptunghiulare se găsesc în viața noastră literalmente la fiecare colț. Determinarea zonei unor astfel de figuri vă va fi utilă nu numai atunci când rezolvați sarcinile școlare în geometrie, ci și în activitățile de zi cu zi și profesionale.

Un triunghi dreptunghic este un triunghi în care unul dintre unghiuri are 90°. Zona sa poate fi găsită dacă se cunosc două laturi. Puteți, desigur, să luați traseul lung - găsiți ipotenuza și calculați aria folosind , dar în cele mai multe cazuri acest lucru va dura doar timp suplimentar. De aceea formula pentru aria unui triunghi dreptunghic arată astfel:

Aria unui triunghi dreptunghic este egală cu jumătate din produsul catetelor.

Un exemplu de calcul al ariei unui triunghi dreptunghic.
Dat un triunghi dreptunghic cu catete o= 8 cm, b= 6 cm.
Calculăm aria:
Suprafața este: 24 cm2

Teorema lui Pitagora se aplică și unui triunghi dreptunghic. – suma pătratelor celor două catete este egală cu pătratul ipotenuzei.
Formula pentru aria unui triunghi dreptunghic isoscel este calculată în același mod ca și pentru un triunghi dreptunghic obișnuit.

Un exemplu de calcul al ariei unui triunghi dreptunghic isoscel:
Dat un triunghi cu catete o= 4 cm, b= 4 cm Calculați aria:
Calculați aria: = 8 cm 2

Formula pentru aria unui triunghi dreptunghic bazată pe ipotenuză poate fi utilizată dacă este dat un catet în condiție. Din teorema lui Pitagora găsim lungimea piciorului necunoscut. De exemplu, având în vedere ipotenuza cși picior o, picior b va fi egal cu:
Apoi, calculați aria folosind formula obișnuită. Un exemplu de calcul al formulei pentru aria unui triunghi dreptunghic pe baza ipotenuzei este identic cu cel descris mai sus.

Să luăm în considerare o problemă interesantă care va ajuta la consolidarea cunoștințelor formulelor pentru rezolvarea unui triunghi.
Sarcină: Aria unui triunghi dreptunghic este de 180 de metri pătrați. vezi, găsește catetul mai mic al triunghiului dacă este cu 31 cm mai mic decât al doilea.
Soluţie: să desemnăm picioarele oŞi b. Acum, să substituim datele în formula zonei: știm, de asemenea, că un picior este mai mic decât celălalt o – b= 31 cm
Din prima condiție obținem că
Inlocuim aceasta conditie in a doua ecuatie:

Din moment ce am găsit părțile laterale, eliminăm semnul minus.
Se pare că piciorul o= 40 cm, a b= 9 cm.

Formula zonei este necesar să se determine aria unei figuri, care este o funcție cu valoare reală definită pe o anumită clasă de figuri din planul euclidian și care îndeplinește 4 condiții:

1. Pozitivitate - Zona nu poate fi mai mică de zero;
2. Normalizare - un pătrat cu unitate laterală are aria 1;
3. Congruență - figurile congruente au zonă egală;
4. Aditivitate - aria unirii a 2 figuri fără puncte interne comune este egală cu suma ariilor acestor cifre.

Formule pentru aria figurilor geometrice.

Figura geometrică	Formula	Desen
Rezultatul adunării distanțelor dintre punctele medii ale laturilor opuse ale unui patrulater convex va fi egal cu semiperimetrul acestuia.
Sectorul cercului. Aria unui sector de cerc este egală cu produsul arcului său și jumătate din rază.
Segment de cerc. Pentru a obține aria segmentului ASB, este suficient să scădeți aria triunghiului AOB din aria sectorului AOB.	S = 1 / 2 R(s - AC)
Aria elipsei este egală cu produsul dintre lungimile semiaxelor majore și minore ale elipsei și numărul pi.
Elipsă. O altă opțiune pentru calcularea ariei unei elipse este prin două dintre razele sale.
Triunghi. Prin bază și înălțime. Formula pentru aria unui cerc folosind raza și diametrul acestuia.
Pătrat. Prin partea lui. Aria unui pătrat este egală cu pătratul lungimii laturii sale.
Pătrat. Prin diagonalele sale. Aria unui pătrat este egală cu jumătate din pătratul lungimii diagonalei sale.
Poligon regulat. Pentru a determina zona corectă poligon este necesar să-l împărţim în triunghiuri egale care ar avea varf comunîn centrul cercului înscris.	S= r p = 1/2 r n a