Cele mai ingenioase descoperiri din știință pot schimba radical viața umană. Vaccinul inventat poate salva milioane de oameni; crearea de arme, dimpotrivă, elimină aceste vieți. Mai recent (la scara evoluției umane) am învățat să „îmblânzim” electricitatea – iar acum nu ne putem imagina viața fără toate aceste dispozitive convenabile care folosesc electricitate. Există însă și descoperiri cărora puțini oameni le acordă importanță, deși ne influențează foarte mult și viața.

Una dintre aceste descoperiri „nevidențiate” sunt fractalii. Probabil ați mai auzit acest cuvânt captivant, dar știți ce înseamnă și câte informații interesante se ascund în acest termen?

Fiecare persoană are o curiozitate firească, o dorință de a înțelege lumea din jurul său. Și în acest demers, o persoană încearcă să adere la logica în judecăți. Analizând procesele care au loc în jurul lui, el încearcă să găsească logica a ceea ce se întâmplă și să derive un model. Cele mai mari minți de pe planetă sunt ocupate cu această sarcină. În linii mari, oamenii de știință caută un model în care să nu existe. Cu toate acestea, chiar și în haos este posibil să găsim conexiuni între evenimente. Și această conexiune este un fractal.

Fiica noastră mică, în vârstă de patru ani și jumătate, este acum la acea vârstă minunată când numărul întrebărilor „De ce?” de multe ori depaseste numarul de raspunsuri pe care adultii reusesc sa le dea. Nu cu mult timp în urmă, în timp ce examina o creangă ridicată din pământ, fiica mea a observat brusc că această creangă, cu crengile și crengile ei, arăta ea însăși ca un copac. Și, bineînțeles, ce a urmat a fost întrebarea obișnuită „De ce?”, la care părinții trebuiau să caute o explicație simplă pe care copilul să o poată înțelege.

Asemănarea unei singure ramuri cu un copac întreg descoperit de un copil este o observație foarte exactă, care mărturisește încă o dată principiul auto-asemănării recursive în natură. Multe forme organice și anorganice din natură se formează într-un mod similar. Norii, scoici de mare, „casa” unui melc, scoarța și coroana copacilor, sistemul circulator și așa mai departe - formele aleatorii ale tuturor acestor obiecte pot fi descrise printr-un algoritm fractal.

⇡ Benoit Mandelbrot: părintele geometriei fractale

Cuvântul „fractal” însuși a apărut datorită genialului om de știință Benoit B. Mandelbrot.

El însuși a inventat termenul în anii 1970, împrumutând cuvântul fractus din latină, unde literalmente înseamnă „rupt” sau „zdrobit”. Ce este? Astăzi, cuvântul „fractal” înseamnă cel mai adesea o reprezentare grafică a unei structuri care, la o scară mai mare, este similară cu ea însăși.

Baza matematică pentru apariția teoriei fractalilor a fost pusă cu mulți ani înainte de nașterea lui Benoit Mandelbrot, dar s-a putut dezvolta doar odată cu apariția dispozitivelor de calcul. La începutul carierei sale științifice, Benoit a lucrat la centrul de cercetare IBM. La acea vreme, angajații centrului lucrau la transmiterea datelor la distanță. În timpul cercetării, oamenii de știință s-au confruntat cu problema pierderilor mari rezultate din interferența zgomotului. Benoit s-a confruntat cu o sarcină dificilă și foarte importantă - să înțeleagă cum să prezică apariția interferenței de zgomot în circuitele electronice atunci când metoda statistică se dovedește a fi ineficientă.

Privind rezultatele măsurătorilor de zgomot, Mandelbrot a observat un model ciudat - graficele de zgomot la diferite scale arătau la fel. Un model identic a fost observat, indiferent dacă a fost un grafic de zgomot pentru o zi, o săptămână sau o oră. A fost necesar să se schimbe scara graficului, iar imaginea s-a repetat de fiecare dată.

În timpul vieții sale, Benoit Mandelbrot a spus în repetate rânduri că nu a studiat formule, ci pur și simplu s-a jucat cu imagini. Acest om a gândit foarte figurat și a tradus orice problemă algebrică în domeniul geometriei, unde, potrivit lui, răspunsul corect este întotdeauna evident.

Nu este de mirare că un om cu o imaginație spațială atât de bogată a devenit părintele geometriei fractale. La urma urmei, conștientizarea esenței fractalilor vine tocmai atunci când începi să studiezi desenele și să te gândești la semnificația tiparelor de vârtej ciudate.

Un model fractal nu are elemente identice, dar este similar pe orice scară. Anterior, era pur și simplu imposibil să construiești manual o astfel de imagine cu un grad ridicat de detaliu; acest lucru necesita o cantitate imensă de calcule. De exemplu, matematicianul francez Pierre Joseph Louis Fatou a descris acest set cu mai bine de șaptezeci de ani înainte de descoperirea lui Benoit Mandelbrot. Dacă vorbim despre principiile auto-asemănării, acestea au fost menționate în lucrările lui Leibniz și Georg Cantor.

Unul dintre primele desene fractale a fost o interpretare grafică a setului Mandelbrot, care a luat naștere datorită cercetărilor lui Gaston Maurice Julia.

Gaston Julia (purtând întotdeauna o mască - rănire din Primul Război Mondial)

Acest matematician francez s-a întrebat cum ar arăta un set dacă ar fi construit dintr-o formulă simplă iterată printr-o buclă de feedback. Dacă o explicăm „pe degetele noastre”, aceasta înseamnă că pentru un anumit număr găsim o nouă valoare folosind formula, după care o înlocuim din nou în formulă și obținem o altă valoare. Rezultatul este o succesiune mare de numere.

Pentru a obține o imagine completă a unui astfel de set, trebuie să faceți un număr mare de calcule - sute, mii, milioane. Pur și simplu era imposibil să faci asta manual. Dar când matematicieni au devenit disponibile dispozitive de calcul puternice, aceștia au putut să arunce o privire nouă asupra formulelor și expresiilor care au fost de multă vreme de interes. Mandelbrot a fost primul care a folosit un computer pentru a calcula un fractal clasic. După procesarea unei secvențe formate dintr-un număr mare de valori, Benoit a trasat rezultatele pe un grafic. Asta a primit.

Ulterior, această imagine a fost colorată (de exemplu, una dintre metodele de colorare este după numărul de iterații) și a devenit una dintre cele mai populare imagini create vreodată de om.

După cum spune vechea zicală atribuită lui Heraclit din Efes: „Nu poți păși în același râu de două ori”. Este perfect potrivit pentru interpretarea geometriei fractalilor. Indiferent cât de detaliat ne uităm la o imagine fractală, vom vedea întotdeauna un model similar.

Cei care doresc să vadă cum ar arăta o imagine a spațiului Mandelbrot atunci când au mărit de mai multe ori pot face acest lucru descărcând GIF-ul animat.

⇡ Lauren Carpenter: artă creată de natură

Teoria fractalilor și-a găsit curând aplicație practică. Deoarece este strâns legată de vizualizarea imaginilor auto-similare, nu este surprinzător că primii care au adoptat algoritmi și principii pentru construirea formelor neobișnuite au fost artiștii.

Viitorul co-fondator al legendarului studio Pixar, Loren C. Carpenter, a început să lucreze în 1967 la Boeing Computer Services, care era una dintre diviziile celebrei corporații care dezvolta aeronave noi.

În 1977, a creat prezentări cu prototipuri de modele zburătoare. Responsabilitățile lui Loren au inclus dezvoltarea de imagini ale aeronavei proiectate. A trebuit să creeze imagini cu modele noi, arătând viitoarele avioane din diferite unghiuri. La un moment dat, viitorul fondator al Pixar Animation Studios a venit cu ideea creativă de a folosi o imagine a munților ca fundal. Astăzi, orice școlar poate rezolva o astfel de problemă, dar la sfârșitul anilor șaptezeci ai secolului trecut, computerele nu puteau face față unor calcule atât de complexe - nu existau editori grafici, ca să nu mai vorbim de aplicații pentru grafică 3D. În 1978, Lauren a văzut accidental cartea lui Benoit Mandelbrot Fractals: Form, Chance and Dimension într-un magazin. Ceea ce i-a atras atenția în această carte a fost că Benoit a oferit o mulțime de exemple de forme fractale în viața reală și a susținut că acestea pot fi descrise printr-o expresie matematică.

Această analogie nu a fost aleasă de matematician întâmplător. Cert este că, de îndată ce și-a publicat cercetările, a trebuit să facă față unui întreg val de critici. Principalul lucru pentru care i-au reproșat colegii a fost inutilitatea teoriei în curs de dezvoltare. „Da”, au spus ei, „acestea sunt poze frumoase, dar nimic mai mult. Teoria fractalilor nu are valoare practică.” Au existat, de asemenea, cei care credeau în general că modelele fractale sunt pur și simplu un produs secundar al muncii „mașinilor diavolești”, care la sfârșitul anilor șaptezeci părea multora a fi ceva prea complex și neexplorat pentru a fi de încredere. Mandelbrot a încercat să găsească aplicații evidente pentru teoria fractală, dar în marea schemă a lucrurilor nu avea nevoie. În următorii 25 de ani, adepții lui Benoit Mandelbrot au dovedit beneficiile enorme ale unei astfel de „curiozități matematice”, iar Lauren Carpenter a fost una dintre primele care a încercat metoda fractală în practică.

După ce a studiat cartea, viitorul animator a studiat serios principiile geometriei fractale și a început să caute o modalitate de a o implementa în grafica computerizată. În doar trei zile de muncă, Lauren a reușit să redea o imagine realistă a sistemului montan pe computerul său. Cu alte cuvinte, a folosit formule pentru a picta un peisaj montan complet recunoscut.

Principiul pe care Lauren l-a folosit pentru a-și atinge scopul a fost foarte simplu. A constat în împărțirea unei figuri geometrice mai mari în elemente mici, iar acestea, la rândul lor, au fost împărțite în figuri similare de dimensiuni mai mici.

Folosind triunghiuri mai mari, Carpenter le-a împărțit în patru mai mici și apoi a repetat acest proces iar și iar până când a obținut un peisaj montan realist. Astfel, a reușit să devină primul artist care a folosit un algoritm fractal pentru construirea de imagini în grafica computerizată. De îndată ce cuvântul despre lucrare a devenit cunoscut, entuziaștii din întreaga lume au preluat ideea și au început să folosească algoritmul fractal pentru a imita forme naturale realiste.

Una dintre primele vizualizări 3D folosind un algoritm fractal

Doar câțiva ani mai târziu, Lauren Carpenter a putut să-și aplice evoluțiile într-un proiect mult mai amplu. Animatorul a creat un demo de două minute de Vol Libre de la ei, care a fost afișat pe Siggraph în 1980. Acest videoclip a șocat pe toți cei care l-au văzut, iar Lauren a primit o invitație de la Lucasfilm.

Animația a fost redată pe un computer VAX-11/780 de la Digital Equipment Corporation cu o viteză de ceas de cinci megaherți, iar randarea a durat aproximativ o jumătate de oră pentru fiecare cadru.

Lucrând pentru Lucasfilm Limited, animatorul a creat peisaje 3D folosind aceeași schemă pentru al doilea lungmetraj din saga Star Trek. În The Wrath of Khan, Carpenter a reușit să creeze o întreagă planetă folosind același principiu de modelare a suprafeței fractale.

În prezent, toate aplicațiile populare pentru crearea de peisaje 3D folosesc un principiu similar pentru generarea de obiecte naturale. Terragen, Bryce, Vue și alți editori 3D se bazează pe un algoritm fractal pentru modelarea suprafețelor și texturilor.

⇡ Antene fractale: mai puțin înseamnă mai mult

În ultima jumătate de secol, viața a început să se schimbe rapid. Majoritatea dintre noi considerăm progresele tehnologiei moderne de la sine înțeles. Te obișnuiești foarte repede cu tot ceea ce face viața mai confortabilă. Rareori cineva pune întrebările „De unde a venit asta?” și „Cum funcționează?” Un cuptor cu microunde încălzește micul dejun - grozav, un smartphone vă oferă posibilitatea de a vorbi cu o altă persoană - grozav. Aceasta ni se pare o posibilitate evidentă.

Dar viața ar fi putut fi complet diferită dacă o persoană nu ar fi căutat o explicație pentru evenimentele care au loc. Luați telefoanele mobile, de exemplu. Îți amintești de antenele retractabile de pe primele modele? Au intervenit, au mărit dimensiunea dispozitivului și, în cele din urmă, s-au rupt adesea. Credem că s-au scufundat în uitare pentru totdeauna și o parte din motivul acestui lucru sunt... fractalii.

Modelele fractale fascinează cu modelele lor. Cu siguranță seamănă cu imagini ale obiectelor cosmice - nebuloase, grupuri de galaxii și așa mai departe. Prin urmare, este destul de firesc ca atunci când Mandelbrot și-a exprimat teoria fractalilor, cercetările sale au trezit un interes sporit în rândul celor care au studiat astronomia. Unul dintre acești amatori pe nume Nathan Cohen, după ce a participat la o prelegere a lui Benoit Mandelbrot la Budapesta, a fost inspirat de ideea aplicării practice a cunoștințelor dobândite. Adevărat, a făcut acest lucru intuitiv, iar întâmplarea a jucat un rol important în descoperirea sa. Ca radioamator, Nathan a căutat să creeze o antenă cu cea mai mare sensibilitate posibilă.

Singura modalitate de a îmbunătăți parametrii antenei, care era cunoscută la acea vreme, era creșterea dimensiunilor geometrice ale acesteia. Cu toate acestea, proprietarul proprietății din centrul orașului Boston pe care Nathan a închiriat-o era categoric împotriva instalării de dispozitive mari pe acoperiș. Apoi Nathan a început să experimenteze cu diferite forme de antene, încercând să obțină rezultatul maxim cu dimensiunea minimă. Inspirat de ideea formelor fractale, Cohen, după cum se spune, a făcut aleatoriu unul dintre cei mai faimoși fractali din sârmă - „fulgul de zăpadă Koch”. Matematicianul suedez Helge von Koch a venit cu această curbă în 1904. Se obține prin împărțirea unui segment în trei părți și înlocuirea segmentului din mijloc cu un triunghi echilateral fără ca o latură să coincidă cu acest segment. Definiția este puțin greu de înțeles, dar în figură totul este clar și simplu.

Există și alte variații ale curbei Koch, dar forma aproximativă a curbei rămâne similară

Când Nathan a conectat antena la receptorul radio, a fost foarte surprins - sensibilitatea a crescut dramatic. După o serie de experimente, viitorul profesor de la Universitatea din Boston și-a dat seama că o antenă realizată după un model fractal are o eficiență ridicată și acoperă o gamă de frecvență mult mai largă în comparație cu soluțiile clasice. În plus, forma antenei sub forma unei curbe fractale face posibilă reducerea semnificativă a dimensiunilor geometrice. Nathan Cohen a venit chiar cu o teoremă care să demonstreze că pentru a crea o antenă de bandă largă, este suficient să-i dea forma unei curbe fractale auto-similare.

Autorul și-a brevetat descoperirea și a fondat o companie de dezvoltare și proiectare a antenelor fractale Fractal Antenna Systems, crezând pe bună dreptate că în viitor, datorită descoperirii sale, telefoanele mobile vor putea scăpa de antenele voluminoase și vor deveni mai compacte.

În principiu, asta s-a întâmplat. Adevărat, până astăzi Nathan este angajat într-o bătălie juridică cu mari corporații care folosesc ilegal descoperirea sa pentru a produce dispozitive de comunicații compacte. Unii producători cunoscuți de dispozitive mobile, precum Motorola, au ajuns deja la un acord amiabil cu inventatorul antenei fractale.

⇡ Dimensiuni fractale: nu poți înțelege cu mintea ta

Benoit a împrumutat această întrebare de la celebrul om de știință american Edward Kasner.

Aceștia din urmă, la fel ca mulți alți matematicieni celebri, îi plăcea să comunice cu copiii, punându-le întrebări și primind răspunsuri neașteptate. Uneori, acest lucru a dus la consecințe surprinzătoare. De exemplu, nepotul de nouă ani al lui Edward Kasner a venit cu cuvântul acum binecunoscut „googol”, adică unul urmat de o sută de zerouri. Dar să revenim la fractali. Matematicianului american îi plăcea să pună întrebarea cât de lungă este coasta SUA. După ce a ascultat părerea interlocutorului său, Edward însuși a rostit răspunsul corect. Dacă măsurați lungimea pe o hartă folosind segmente rupte, rezultatul va fi inexact, deoarece linia de coastă are un număr mare de nereguli. Ce se întâmplă dacă măsurăm cât mai precis posibil? Va trebui să țineți cont de lungimea fiecărei denivelări - va trebui să măsurați fiecare pelerină, fiecare golf, stâncă, lungimea unei margini stâncoase, o piatră pe ea, un grăunte de nisip, un atom și așa mai departe. Deoarece numărul de nereguli tinde spre infinit, lungimea măsurată a liniei de coastă va crește la infinit atunci când se măsoară fiecare nouă neregulă.

Cu cât măsura este mai mică la măsurare, cu atât lungimea măsurată este mai mare

Interesant, urmând îndemnurile lui Edward, copiii au fost mult mai rapid decât adulții în a spune soluția corectă, în timp ce aceștia din urmă au avut probleme în a accepta un răspuns atât de incredibil.

Folosind această problemă ca exemplu, Mandelbrot a propus utilizarea unei noi abordări a măsurătorilor. Deoarece linia de coastă este aproape de o curbă fractală, înseamnă că i se poate aplica un parametru de caracterizare - așa-numita dimensiune fractală.

Ce este o dimensiune obișnuită este clar pentru oricine. Dacă dimensiunea este egală cu unu, obținem o linie dreaptă, dacă doi - o figură plată, trei - un volum. Cu toate acestea, această înțelegere a dimensiunii în matematică nu funcționează cu curbele fractale, unde acest parametru are o valoare fracțională. Dimensiunea fractală în matematică poate fi considerată convențional ca o „rugurozitate”. Cu cât este mai mare rugozitatea curbei, cu atât dimensiunea sa fractală este mai mare. O curbă care, conform lui Mandelbrot, are o dimensiune fractală mai mare decât dimensiunea sa topologică are o lungime aproximativă care nu depinde de numărul de dimensiuni.

În prezent, oamenii de știință găsesc din ce în ce mai multe domenii pentru a aplica teoria fractalilor. Folosind fractali, puteți analiza fluctuațiile prețurilor bursiere, puteți studia tot felul de procese naturale, cum ar fi fluctuațiile numărului de specii sau puteți simula dinamica fluxurilor. Algoritmii fractali pot fi utilizați pentru compresia datelor, cum ar fi compresia imaginii. Și apropo, pentru a obține un fractal frumos pe ecranul computerului, nu trebuie să aveți un doctorat.

⇡ Fractal în browser

Poate că una dintre cele mai ușoare modalități de a obține un model fractal este să folosești un editor de vectori online de la tânărul talentat programator Toby Schachman. Instrumentele acestui editor grafic simplu se bazează pe același principiu al auto-asemănării.

La dispoziția dumneavoastră există doar două forme simple - un patrulater și un cerc. Le puteți adăuga pe pânză, le puteți scala (pentru a scala de-a lungul uneia dintre axe, țineți apăsată tasta Shift) și le puteți roti. Suprapunându-se după principiul operațiilor de adunare booleană, aceste elemente cele mai simple formează forme noi, mai puțin triviale. Aceste noi forme pot fi apoi adăugate la proiect, iar programul se va repeta generând aceste imagini la infinit. În orice etapă a lucrului la un fractal, puteți reveni la orice componentă a unei forme complexe și puteți edita poziția și geometria acesteia. O activitate distractivă, mai ales când consideri că singurul instrument pe care trebuie să-l creezi este un browser. Dacă nu înțelegeți principiul lucrului cu acest editor vectorial recursiv, vă sfătuim să urmăriți videoclipul de pe site-ul oficial al proiectului, care arată în detaliu întregul proces de creare a unui fractal.

⇡ XaoS: fractali pentru toate gusturile

Mulți editori grafici au instrumente încorporate pentru a crea modele fractale. Cu toate acestea, aceste instrumente sunt de obicei secundare și nu permit reglarea fină a modelului fractal generat. În cazurile în care este necesar să se construiască un fractal precis din punct de vedere matematic, editorul multiplatform XaoS va veni în ajutor. Acest program face posibilă nu numai construirea unei imagini auto-similare, ci și efectuarea diferitelor manipulări cu aceasta. De exemplu, în timp real puteți face o „plimbare” de-a lungul unui fractal schimbându-i scara. Mișcarea animată de-a lungul unui fractal poate fi salvată ca fișier XAF și apoi reprodusă în programul însuși.

XaoS poate încărca un set aleatoriu de parametri și poate folosi, de asemenea, diverse filtre de post-procesare a imaginii - adăugați un efect de mișcare neclară, neteziți tranzițiile clare între punctele fractale, simulați o imagine 3D și așa mai departe.

⇡ Fractal Zoomer: generator de fractali compact

În comparație cu alte generatoare de imagini fractale, are mai multe avantaje. În primul rând, are dimensiuni foarte mici și nu necesită instalare. În al doilea rând, implementează capacitatea de a determina paleta de culori a unei imagini. Puteți alege nuanțe în modelele de culoare RGB, CMYK, HVS și HSL.

De asemenea, este foarte convenabil să utilizați opțiunea de selectare aleatorie a nuanțelor de culoare și funcția de inversare a tuturor culorilor din imagine. Pentru a regla culoarea, există o funcție de selecție ciclică a nuanțelor - când porniți modul corespunzător, programul animă imaginea, schimbând ciclic culorile de pe ea.

Fractal Zoomer poate vizualiza 85 de funcții fractale diferite, iar formulele sunt afișate clar în meniul programului. Există filtre pentru post-procesarea imaginii în program, deși în cantități mici. Fiecare filtru alocat poate fi anulat în orice moment.

⇡ Mandelbulb3D: editor fractal 3D

Când este folosit termenul „fractal”, cel mai adesea se referă la o imagine plată, bidimensională. Cu toate acestea, geometria fractală depășește dimensiunea 2D. În natură, puteți găsi atât exemple de forme fractale plate, de exemplu, geometria fulgerului, cât și figuri volumetrice tridimensionale. Suprafețele fractale pot fi tridimensionale și o ilustrare foarte clară a fractalilor 3D în viața de zi cu zi este un cap de varză. Poate că cel mai bun mod de a vedea fractalii este în soiul Romanesco, un hibrid de conopidă și broccoli.

Puteți mânca și acest fractal

Programul Mandelbulb3D poate crea obiecte tridimensionale cu o formă similară. Pentru a obține o suprafață 3D folosind un algoritm fractal, autorii acestei aplicații, Daniel White și Paul Nylander, au convertit setul Mandelbrot în coordonate sferice. Programul Mandelbulb3D pe care l-au creat este un adevărat editor tridimensional care modelează suprafețe fractale de diferite forme. Deoarece observăm adesea modele fractale în natură, un obiect tridimensional fractal creat artificial pare incredibil de realist și chiar „viu”.

Poate să semene cu o plantă, poate să semene cu un animal ciudat, cu o planetă sau cu altceva. Acest efect este îmbunătățit de un algoritm de randare avansat, care face posibilă obținerea de reflexii realiste, calcularea transparenței și umbrelor, simularea efectului adâncimii câmpului și așa mai departe. Mandelbulb3D are un număr mare de setări și opțiuni de randare. Puteți controla nuanțele surselor de lumină, puteți selecta fundalul și nivelul de detaliu al obiectului simulat.

Editorul de fractali Incendia acceptă netezirea dublă a imaginii, conține o bibliotecă de cincizeci de fractali tridimensionali diferiți și are un modul separat pentru editarea formelor de bază.

Aplicația folosește scripting fractal, cu care puteți descrie în mod independent noi tipuri de modele fractale. Incendia are editori de textură și materiale, iar motorul de randare vă permite să utilizați efecte de ceață volumetrică și diverse shadere. Programul implementează opțiunea de salvare a unui buffer în timpul redării pe termen lung și sprijină crearea de animație.

Incendia vă permite să exportați un model fractal în formate populare de grafică 3D - OBJ și STL. Incendia include un mic utilitar numit Geometrica, un instrument special pentru configurarea exportului unei suprafețe fractale la un model 3D. Folosind acest utilitar, puteți determina rezoluția unei suprafețe 3D și puteți specifica numărul de iterații fractale. Modelele exportate pot fi folosite în proiecte 3D atunci când lucrați cu editori 3D, cum ar fi Blender, 3ds max și altele.

Recent, lucrările la proiectul Incendia au încetinit oarecum. În acest moment, autorul caută sponsori care să-l ajute să dezvolte programul.

Dacă nu aveți suficientă imaginație pentru a desena un frumos fractal tridimensional în acest program, nu contează. Utilizați biblioteca de parametri, care se află în folderul INCENDIA_EX\parameters. Folosind fișierele PAR, puteți găsi rapid cele mai neobișnuite forme fractale, inclusiv cele animate.

⇡ Aural: cum cântă fractalii

De obicei, nu vorbim despre proiecte la care tocmai se lucrează, dar în acest caz trebuie să facem o excepție, deoarece aceasta este o aplicație foarte neobișnuită. Proiectul, numit Aural, a fost inventat de aceeași persoană care a creat Incendia. Totuși, de data aceasta programul nu vizualizează setul fractal, ci îl sună, transformându-l în muzică electronică. Ideea este foarte interesantă, mai ales având în vedere proprietățile neobișnuite ale fractalilor. Aural este un editor audio care generează melodii folosind algoritmi fractali, adică, în esență, este un sintetizator-sequencer audio.

Secvența de sunete produse de acest program este neobișnuită și... frumoasă. Poate fi util pentru scrierea de ritmuri moderne și, ni se pare, este deosebit de potrivit pentru crearea de coloane sonore pentru screensaverele programelor de televiziune și radio, precum și „bucle” de muzică de fundal pentru jocurile pe calculator. Ramiro nu a oferit încă o demonstrație a programului său, dar promite că atunci când o va face, pentru a lucra cu Aural, nu va trebui să studiați teoria fractală - va trebui doar să vă jucați cu parametrii algoritmului pentru generarea unei secvențe. de note. Ascultă cum sună fractalii și.

Fractali: pauză muzicală

De fapt, fractalii vă pot ajuta să scrieți muzică chiar și fără software. Dar acest lucru poate fi făcut doar de cineva care este cu adevărat impregnat de ideea de armonie naturală și care nu s-a transformat într-un „tocilar” nefericit. Este logic să urmăm exemplul unui muzician pe nume Jonathan Coulton, care, printre altele, scrie compoziții pentru revista Popular Science. Și, spre deosebire de alți interpreți, Colton își publică toate lucrările sub o licență Creative Commons Atribuire-Necomerciale, care (atunci când este utilizată în scopuri necomerciale) asigură copierea, distribuirea, transferul lucrării către alții, precum și modificarea acesteia ( crearea de lucrări derivate) astfel încât să-l adaptezi sarcinilor tale.

Jonathan Colton, desigur, are un cântec despre fractali.

⇡ Concluzie

În tot ceea ce ne înconjoară, vedem adesea haos, dar de fapt acesta nu este un accident, ci o formă ideală, pe care fractalii ne ajută să o discernem. Natura este cel mai bun arhitect, constructor și inginer ideal. Este structurat foarte logic și, dacă nu vedem un model undeva, aceasta înseamnă că trebuie să-l căutăm la o scară diferită. Oamenii înțeleg acest lucru din ce în ce mai bine, încercând să imite formele naturale în multe feluri. Inginerii proiectează sisteme de difuzoare în formă de coajă, creează antene în formă de fulgi de zăpadă și așa mai departe. Suntem siguri că fractalii conțin încă multe secrete și multe dintre ele nu au fost încă descoperite de oameni.

Trimiteți-vă munca bună în baza de cunoștințe este simplu. Utilizați formularul de mai jos

Studenții, studenții absolvenți, tinerii oameni de știință care folosesc baza de cunoștințe în studiile și munca lor vă vor fi foarte recunoscători.

Postat pe http://www.allbest.ru

• Introducere
• 1. Conceptul de fractal
• 2. Clasificarea fractalilor
• 4. Aplicarea fractalilor
• Concluzie
• Lista literaturii folosite

Introducere

Apariția obiectelor matematice auto-asemănătoare cu o sută sau mai mulți ani în urmă nu a interesat aproape nimănui; ele erau de interes doar pentru autorii acestor obiecte. Mai mult, unii oameni de știință i-au numit „monstri” și nu credeau că au vreo legătură cu lumea reală și cu știința.

Atitudinile față de obiectele matematice autosimilare s-au schimbat odată cu apariția computerelor, când au apărut primele imagini ale fractalilor algebrici și stocastici. Imediat după aceasta, ei au interesat nu numai matematicienii, ci și fizicienii, biologii, acusticienii și toți cei care au întâlnit obiecte naturale în munca lor. Matematicienii au fost atrași de fractali de simplitatea formulelor care descriu astfel de structuri complexe, fizicienii prin posibilitatea de a reconsidera fizica dintr-o nouă poziție, biologii prin corespondența imaginilor fractale cu diverse obiecte biologice.

Fractalii nu s-au epuizat încă; obiectele fractale sunt încă găsite în noi domenii ale științei. Sunt folosite de fizicieni, biologi, sociologi, economiști și mulți alții. Fractalii nu au fost pe deplin studiati; se găsesc noi aplicații pentru ei, schimbându-ne atitudinea atât față de fractali înșiși, cât și față de natură.

Obiectul lucrării este fenomenul fractalilor.

Subiectul lucrării este locul fractalilor în știința modernă.

Scopul lucrării este de a considera fractalii ca fiind atât un fenomen simplu, cât și complex.

Obiectivele lucrării: luați în considerare conceptul de fractali, tipuri de fractali, istoria apariției și studiul fractalilor, aplicarea fractalilor în practică.

1. Conceptul de fractal

Conceptele de geometrie fractală și fractală, care au apărut la sfârșitul anilor 70, au devenit ferm stabilite în rândul matematicienilor și programatorilor de la mijlocul anilor 80 ai secolului XX. Cuvântul fractal este derivat din latinescul fractus și tradus înseamnă format din fragmente.Mandelbrot B. Fractal geometry of nature, p. 5 - M.: Institute of Computer Research, 2002. . A fost propus de Benoit Mandelbrot în 1975 pentru a desemna structuri neregulate, dar auto-asemănătoare, pe care le-a studiat.Mandelbrot B. Fractal geometry of nature, p. 5 - M.: Institute for Computer Research, 2002. . Nașterea geometriei fractale este de obicei asociată cu publicarea cărții lui Mandelbrot „The Fractal Geometry of Nature” în 1977. Lucrările sale au folosit rezultatele științifice ale altor oameni de știință care au lucrat în perioada 1875-1925 în același domeniu (Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff Dar numai în vremea noastră a fost posibilă combinarea muncii lor într-un singur sistem.

Rolul fractalilor în grafica computerizată astăzi este destul de mare. Aceștia vin în ajutor, de exemplu, atunci când este necesar, folosind mai mulți coeficienți, să definească linii și suprafețe de forme foarte complexe. Din punctul de vedere al graficii pe computer, geometria fractală este indispensabilă atunci când se generează nori artificiali, munți și suprafețe maritime. De fapt, s-a găsit o modalitate de a reprezenta cu ușurință obiecte complexe non-euclidiene, ale căror imagini sunt foarte asemănătoare cu cele naturale.

Una dintre principalele proprietăți ale fractalilor este auto-asemănarea. În cel mai simplu caz, o mică parte a unui fractal conține informații despre întregul fractal.

Definiția unui fractal dată de Mandelbrot este următoarea: „Un fractal este o structură formată din părți care sunt într-un anumit sens similare cu întregul.” Feder E. Fractals: World 1991, p.67.

Trebuie remarcat faptul că cuvântul „fractal” nu este un termen matematic și nu are o definiție matematică strictă general acceptată. Poate fi utilizat atunci când figura în cauză are oricare dintre următoarele proprietăți:

1. Are o structură nebanală pe toate scările. Acest lucru este în contrast cu figurile obișnuite (cum ar fi un cerc, o elipsă, un grafic al unei funcții netede): dacă luăm în considerare un mic fragment al unei figuri obișnuite la o scară foarte mare, acesta va arăta ca un fragment de linie dreaptă. Pentru un fractal, creșterea scării nu duce la o simplificare a structurii; la toate scările vom vedea o imagine la fel de complexă.

2. Este auto-similar sau aproximativ auto-similar.

3. Are o dimensiune metrică fracționară sau o dimensiune metrică care o depășește pe cea topologică.

4. Poate fi construit folosind o procedură recursivă Feder E. Fractals: World 1991, p. 133.

Multe obiecte din natură au proprietăți fractale, de exemplu coastele, norii, coroanele copacilor, sistemul circulator și sistemul alveolar al oamenilor sau animalelor.

Fractalii, în special pe un avion, sunt populari datorită combinației dintre frumusețe cu ușurința construcției folosind un computer.

Fractalii sunt în primul rând limbajul geometriei. Cu toate acestea, elementele lor principale nu sunt direct observabile. În acest sens, ele sunt fundamental diferite de obiectele obișnuite ale geometriei euclidiene, cum ar fi o linie dreaptă sau un cerc. Fractalii sunt exprimați nu în forme geometrice primare, ci în algoritmi, seturi de proceduri matematice.

Acești algoritmi sunt transformați în forme geometrice folosind un computer. Repertoriul elementelor algoritmice este inepuizabil. Odată ce stăpânești limbajul fractalilor, poți descrie forma unui nor la fel de clar și simplu așa cum un arhitect descrie o clădire folosind desene care folosesc limbajul geometriei tradiționale.

2. Clasificarea fractalilor

Fractali geometrici. Fractalii din această clasă sunt cei mai vizuali. În cazul bidimensional, ele sunt obținute folosind o linie întreruptă (sau suprafață în cazul tridimensional), numită generator. Într-un pas al algoritmului, fiecare dintre segmentele care alcătuiesc polilinia este înlocuit cu o polilinie generatoare, la scara corespunzătoare. Ca urmare a repetării nesfârșite a acestei proceduri, se obține un fractal geometric.

Fractali algebrici. Acesta este cel mai mare grup de fractali. Ele sunt obținute folosind procese neliniare în spații n-dimensionale. Procesele bidimensionale sunt cele mai studiate. Atunci când interpretăm un proces iterativ neliniar ca un sistem dinamic discret, se poate folosi terminologia teoriei acestor sisteme: portret de fază, proces în stare staționară, atractor etc.

Se știe că sistemele dinamice neliniare au mai multe stări stabile. Starea în care se află sistemul dinamic după un anumit număr de iterații depinde de starea sa inițială. Prin urmare, fiecare stare stabilă (sau, după cum se spune, atractor) are o anumită regiune de stări inițiale, din care sistemul va cădea în mod necesar în stările finale luate în considerare. Astfel, spațiul de fază al sistemului este împărțit în zone de atracție a atractorilor. Dacă spațiul de fază este un spațiu bidimensional, atunci prin colorarea zonelor de atracție cu culori diferite se poate obține un portret de fază color al acestui sistem (proces iterativ). Schimbând algoritmul de selecție a culorii, puteți obține modele fractale complexe cu modele multicolore bizare. O surpriză pentru matematicieni a fost capacitatea de a genera structuri non-triviale foarte complexe folosind algoritmi primitivi.

Fractali scolastici. Obiectele naturale care apar ca urmare a unor procese aleatorii complexe au adesea o formă fractală. Fractalii stocastici (aleatorii) pot fi folosiți pentru a le modela. Exemple de fractali stocastici:

1. traiectoria mișcării browniene în plan și în spațiu;

2. limita traiectoriei mișcării browniene pe un plan. În 2001, Lawler, Schramm și Werner au demonstrat conjectura lui Mandelbort că dimensiunea sa este 4/3.

3. Evoluții Schramm-Löwner - curbe fractale conform invariante care apar în modelele critice bidimensionale ale mecanicii statistice, de exemplu în modelul Ising și percolație.

4. diverse tipuri de fractali randomizați, adică fractali obținuți folosind o procedură recursivă în care se introduce un parametru aleator la fiecare pas. Plasma este un exemplu de utilizare a unui astfel de fractal în grafica computerizată.

Monotipul fractal, sau stochatipia, sunt tendințe în artele vizuale care constau în obținerea unei imagini a unui fractal aleatoriu.Schroeder M. Fractali, haos, legile puterii. Miniaturi din paradisul nesfârșit. - Izhevsk: RHD, 2001, p.26.

3. Istoria fractalilor

Este de remarcat faptul că apariția fractalilor (nu au primit încă acest nume) în literatura matematică în urmă cu aproximativ o sută de ani a fost întâmpinată cu o ostilitate regretabilă, așa cum s-a întâmplat în istoria dezvoltării multor alte idei matematice. Un matematician celebru, Charles Hermite, i-a numit chiar monștri. Cel puțin consensul general le-a recunoscut ca o patologie de interes doar pentru cercetătorii care abuzează de mofturile matematice, și nu pentru oamenii de știință adevărați.

Ca urmare a eforturilor lui Benoit Mandelbrot, această atitudine s-a schimbat, iar geometria fractală a devenit o știință aplicată respectată. Mandelbrot a inventat termenul de fractal pe baza teoriei dimensiunii fractale (fracționale) a lui Hausdorff, propusă în 1919. Cu mulți ani înainte de apariția primei sale cărți despre geometria fractală, Mandelbrot a început să cerceteze apariția monștrilor și a altor patologii în natură. A găsit o nișă pentru seturile de dispreț Cantor, curbele Peano, funcțiile Weierstrass și numeroasele lor variații, care erau considerate aiurea. El și studenții săi au descoperit mulți fractali noi, cum ar fi mișcarea browniană fractală pentru modelarea peisajelor de pădure și munte, fluctuațiile nivelului râului și bătăile inimii. Odată cu publicarea cărților sale, aplicațiile geometriei fractale au început să apară ca ciupercile după ploaie. Acest lucru a afectat atât multe științe aplicate, cât și matematică pură. Nici măcar industria cinematografică nu a fost lăsată deoparte. Milioane de oameni au admirat peisajul montan în filmul „Star Migration II: The Wrath of Khan”, construit folosind fractali Peitgen H.-O., Richter P. H. Frumusețea fractalilor. - M.: Mir 1993, p.45.

Matematicianul francez Henri Poincaré a inițiat cercetări în dinamica neliniară în jurul anului 1890, ducând la teoria haosului modern. Interesul pentru subiect a crescut considerabil când Edward Lorenz, un modelator neliniar al vremii, a descoperit în 1963 că prognozele meteo pe termen lung sunt imposibile. Lorenz a observat că chiar și erorile mici în măsurarea stării actuale a condițiilor meteo pot duce la previziuni complet incorecte despre condițiile meteorologice viitoare. Această dependență esențială de condițiile inițiale stă la baza teoriei matematice a haosului.

Traiectoriile de particule ale mișcării browniene, care au fost studiate de Robert Brown încă din 1828 și Albert Einstein în 1905, sunt un exemplu de curbe fractale, deși descrierea lor matematică nu a fost dată până în 1923 de Norbert Wiener. În 1890, Peano și-a construit celebra sa curbă - o mapare continuă care transformă un segment într-un pătrat și, prin urmare, îi crește dimensiunea de la unu la doi. Limita fulgilor de zăpadă Koch (1904), a cărei dimensiune d » 1,2618, este o altă curbă de creștere a dimensiunii bine-cunoscută.

Fractalul, care nu seamănă deloc cu o curbă, pe care Mandelbrot a numit-o praf, este setul clasic Cantor (1875 sau mai devreme). Această mulțime este atât de rară încât nu conține intervale, dar are totuși același număr de puncte ca și intervalul. Mandelbrot a folosit astfel de „praf” pentru a modela zgomotul staționar în telefonie. Praful fractal de un fel sau altul apare în numeroase situații. De fapt, este un fractal universal în sensul că orice fractal - un atractor al unui sistem de funcții iterate - este fie praf fractal, fie proiecția sa pe un spațiu cu o dimensiune inferioară Peitgen H.-O., Richter P., p. . 22.

Diferiți fractali asemănătoare copacului au fost folosiți nu numai pentru modelarea plantelor de copac, ci și a arborelui bronșic (ramuri purtătoare de aer în plămâni), a funcționarii rinichilor, a sistemului circulator etc. Este interesant de remarcat faptul că Leonardo da Vinci ipoteza că toate ramurile unui copac la o înălțime dată, adunate împreună, au grosimea egală cu trunchiul (sub nivelul lor). Aceasta implică un model fractal pentru coroana copacului sub forma unei suprafețe fractale.

Multe proprietăți remarcabile ale fractalilor și haosului sunt relevate prin studierea mapărilor iterate. În acest caz, ele încep cu o funcție y = f(x) și iau în considerare comportamentul șirului f(x), f(f(x)), f(f(f(x))),... În planul complex, lucrarea de acest fel urcă, aparent, la numele lui Cayley, care a investigat metoda lui Newton de a găsi rădăcina aplicată la funcții complexe și nu doar reale (1879). Gaston Julia și Pierre Fatou (1919) au făcut progrese remarcabile în studiul mapărilor complexe iterate. Desigur, totul a fost făcut fără ajutorul graficii pe computer. În aceste zile, mulți au văzut deja postere colorate care înfățișează seturile *Julia și setul Mandelbrot, care este strâns legat de acestea. Este firesc să începeți să stăpâniți teoria matematică a haosului cu mapări repetate.

Studiul fractalilor și haosului deschide posibilități minunate, atât în ​​studiul unui număr infinit de aplicații, cât și în domeniul matematicii pure. Dar, în același timp, așa cum se întâmplă adesea în așa-numita matematică nouă, descoperirile se bazează pe munca de pionierat a marilor matematicieni din trecut. Sir Isaac Newton a înțeles asta când a spus: „Dacă am văzut mai departe decât alții, este pentru că am stat pe umerii giganților”.

4. Aplicarea fractalilor

Grafică pe computer

Fractalii sunt folosiți pe scară largă în grafica computerizată pentru a construi imagini ale obiectelor naturale, cum ar fi copaci, tufișuri, peisaje montane, suprafețe maritime etc.

Fizica si alte stiinte ale naturii

În fizică, fractalii apar în mod natural la modelarea proceselor neliniare, cum ar fi fluxul de fluid turbulent, procesele complexe de difuzie-adsorbție aleatoare, flăcări, nori etc. Fractalii sunt, de asemenea, folosiți la modelarea materialelor poroase, de exemplu, în petrochimie. În biologie, ele sunt folosite pentru a modela populațiile și pentru a descrie sistemele de organe interne (sistemul vaselor de sânge).

Literatură

Printre operele literare se numără cele care au o natură fractală textuală, structurală sau semantică. În fractalii text, elementele textului sunt potențial repetate la nesfârșit:

1. Un copac infinit neramificat, identic cu ei din orice iterație („Preotul avea un câine...”, „Pilda unui filozof care visează că este un fluture care visează că este o filosofă care visează. ..”, „Este o afirmație falsă că afirmația este adevărată, afirmația este falsă...”).

2. Texte fără sfârșit fără ramuri cu variații („Peggy a avut o gâscă amuzantă…”) și texte cu extensii („The House That Jack Built”).

3. În fractalii structurali, aspectul textului este potențial fractal

4. Coroană de sonete (15 poezii), coroană de sonete (211 poezii), coroană de coroane de sonete (2455 de poezii).

5. „Povești într-o poveste” („Cartea celor o mie și una de nopți”, J. Pototsky „Manuscris găsit la Saragossa”).

6. Prefațe care ascund paternitatea (U. Eco „Numele trandafirului”).

În fractalii semantici și narativi, autorul vorbește despre asemănarea infinită a unei părți cu întregul

H. L. Borges „În cercul ruinelor”

J. Cortazar „Floarea galbenă”

J. Perek „Kunstkamera”

Antene fractale.

Utilizarea geometriei fractale în proiectarea dispozitivelor de antenă a fost folosită pentru prima dată de inginerul american Nathan Cohen, care locuia atunci în centrul orașului Boston, unde era interzisă instalarea de antene externe pe clădiri. Nathan a decupat o formă de curbă Koch din folie de aluminiu și a lipit-o pe o bucată de hârtie, apoi a atașat-o la receptor. S-a dovedit că o astfel de antenă nu funcționează mai rău decât una obișnuită. Și deși principiile fizice de funcționare a unei astfel de antene nu au fost încă studiate, acest lucru nu l-a împiedicat pe Cohen să-și întemeieze propria companie și să lanseze producția lor în serie.

Comprimarea imaginii.

Există algoritmi pentru comprimarea imaginilor folosind fractali. Ele se bazează pe ideea că în loc de o imagine, se poate stoca o mapare de compresie pentru care imaginea este un punct fix.

Rețele descentralizate.

Sistemul de atribuire a adresei IP din rețeaua Netsukuku utilizează principiul compresiei informațiilor fractale pentru a stoca în mod compact informații despre nodurile rețelei. Fiecare nod din rețeaua Netsukuku stochează doar 4 KB de informații despre starea nodurilor învecinate, în timp ce orice nod nou se conectează la rețeaua comună fără a fi nevoie de o reglementare centrală a distribuției adreselor IP, ceea ce, de exemplu, este tipic pentru Internet. Astfel, principiul compresiei informațiilor fractale garantează o funcționare complet descentralizată și, prin urmare, cea mai stabilă a întregii rețele.

Concluzie

Majoritatea oamenilor cred că fractalii sunt doar imagini frumoase care mulțumesc ochiului. Din fericire, nu este cazul, iar fractalii sunt folosiți în multe domenii ale activității umane. Există deja o bază teoretică pentru crearea de noi domenii de aplicare a acestora, cum ar fi diagnosticarea bolilor, prezicerea daunelor în timpul impactului dinamic și multe altele. Dar, în ciuda inepuizabilității teoretice a utilizării fractalilor, se poate presupune că în timp vor apărea direcțiile principale de aplicare a acestora.

Au trecut doar câteva decenii de când Benoit Mandelbrot a declarat: „Geometria naturii este fractală!” Astăzi putem deja să presupunem mult mai mult, și anume că fractalitatea este principiul primar de construcție a tuturor obiectelor naturale fără excepție.

Concluzii:

1. Natura fractalilor este studiată cu atenție de oamenii de știință

2. În viitor, multe probleme din medicină, industria calculatoarelor, știință etc. vor fi rezolvate cu ajutorul fractalilor.

Lista literaturii folosite

grafică naturală fractală

1. Mandelbrot B. Geometria fractală a naturii. - M.: Institutul de Cercetări Informatice, 2002.

2. Peitgen H.-O., Richter P. H. Frumusețea fractalilor. - M.: Mir, 1993.

3. Feder E. Fractali-M.: Mir, 1991.

4. Schroeder M. Fractali, haos, legile puterii. Miniaturi din paradisul nesfârșit. - Izhevsk: RHD, 2001.

Postat pe Allbest.ru

Documente similare

Un fractal este o mulțime a cărei dimensiune diferă de dimensiunea obișnuită, numită topologică. Principii și condiții pentru formarea unui sistem adecvat conform cercetărilor lui Mandelbrot. Tipuri și semnificații de fractali, principalele etape ale evoluției lor.

test, adaugat 19.02.2015


Esența conceptelor moderne ale relativității spațiului și timpului se află în teoriile speciale și generale. Spațiul istoric hipercronologic, accelerarea timpului istoric. Explicarea conceptelor de bifurcații, fractali, atractori, factori de aleatorietate.

test, adaugat 12.10.2009


Tipuri de cunoștințe umanitare, tehnice, matematice și științe naturale în sistemul modern de cunoștințe. Rolul și semnificația matematicii și fizicii în înțelegerea lumii. Atitudine față de natură în științele naturii și umaniste. Problema confruntării dintre știință și religie.

rezumat, adăugat 26.11.2011


Dezvoltarea științelor naturii în Evul Mediu, locul și rolul bisericii în stat. Construirea unei teorii a structurii atomice pe baza modelului planetar. Dezvoltarea astronomiei, caracteristicile galaxiilor. Teorii despre originea vieții pe Pământ. Ipotezele originii raselor.

test, adaugat 14.09.2009


Hipocrate ca fondator al medicinei clinice moderne. Meritul oamenilor de știință antici în dezvoltarea științelor naturii. Conținutul legilor de bază ale dialecticii, aplicarea metodelor de cercetare dialectică. Legea trecerii cantitatii la calitate.

test, adaugat 04.03.2011


Sinergetica ca teorie a sistemelor de auto-organizare în lumea științifică modernă. Istoria și logica apariției unei abordări sinergetice în știința naturii. Influența acestei abordări asupra dezvoltării științei. Semnificația metodologică a sinergeticii în știința modernă.

rezumat, adăugat 27.12.2016


Caracteristicile generale ale bacteriilor. Structura, reproducerea și nutriția lor. Conceptul de resurse naturale și caracteristicile acestora. Structura și semnificația sistemului digestiv. Clasificarea economică a resurselor naturale. Structura peretelui canalului digestiv.

test, adaugat 10.09.2012


Tendințele actuale în dezvoltarea industriei, energiei și economiei naționale. Transformări în domeniul științei. Consecințele dezvoltării biotehnologiei și dezvoltărilor în științele naturii. Procese chimice și energie. Conservarea stratului de ozon.

rezumat, adăugat 18.11.2009


Aplicarea principiului obiectivității absolute și certitudinii datelor empirice în fizica cuantică. Utilizarea busolei și a riglei în geometria euclidiană. Analiza sistemului periodic al elementelor chimice D.I. Mendeleev. Proprietățile punctelor de bifurcație.

test, adaugat 06.12.2015


Conceptul de fenomene bioelectrice. Apariția teoriei moderne a excitației membranei. Principalele tipuri de potențiale bioelectrice, mecanismul de apariție și aplicarea acestora în laboratoarele medicale și biologice, în practica clinică în diagnosticare.

Conceptul de fractal și fractalitate

Conceptul matematic al structurilor fractale a fost subliniat de matematicianul franco-american Benoit Mandelbrot într-o serie de articole și monografii ale sale din anii 1970 - 1980, inclusiv faimoasa „Geometrie fractală a naturii” (B. Mandelbrot, „The Fractal Geometry of Nature” ”, 1982).

De fapt, termenul „fractal” a fost propus de B. Mandelbrot la mijlocul anilor 1970. pentru a desemna forme geometrice neregulate care sunt auto-asemănătoare la toate scările, este format, după cum explică însuși savantul, din participiul latin „fractus” și, în conformitate cu semantica verbului original „frangere”, înseamnă „fragmentat”. , „rupt” și „neregulat ca formă” . În mod surprinzător, o definiție matematică exactă și consistentă a fractalilor nu a fost încă dezvoltată. În forma sa cea mai generală, dincolo de sfera definițiilor matematice speciale, un fractal a fost definit de B. Mandelbrot ca „o structură constând din părți care sunt într-un fel similare cu întregul”. Gradul de complexitate, „ruptura” a unui obiect fractal determină dimensiunea sa fractală, care depășește cel mai adesea dimensiunea sa topologică, adică o linie, datorită numeroaselor îndoiri, tinde să se transforme într-un plan, iar un plan „pliat” în o figură tridimensională.

În esență, lucrarea pur matematică a lui B. Mandelbrot, dedicată problemelor teoretice și aplicate de geometrie de tip special, obiecte geometrice și naturale neregulate - structuri auto-asemănătoare și formațiuni de dimensiune fracțională, a servit drept catalizator pentru numeroase studii de fractalitate în o varietate de discipline umaniste: urbanism, arhitectură, psihologie, istoria artei, filozofie, sociologie, antropologie culturală. Odată cu apariția geometriei fractale, conceptele filozofice de „pliuri”, „ondulate” și „netede” spații ale lui J. Deleuze și F. Guattari apar într-o cu totul altă lumină, care, în opinia noastră, a anticipat ideea de o descriere fractală a lumii în complexitatea ei ontologică. Până la sfârșitul anilor 2000. fractalul și fractalitatea nu numai că au luat contur în concepte științifice cu drepturi depline în discursul umanitar, ci au început să fie utilizate și ca criteriu cantitativ și calitativ pentru previziunile futuriste și evaluările estetice.

Ideea centrală a conceptului fractal este autoasemănarea atât fenomene naturale, cât și fenomene socioculturale, a căror dinamică era considerată anterior haotică. Auto-asemănarea înseamnă că în cadrul sistemului, unele dintre secțiunile sale de diferite scări repetă configurația sistemului ca întreg, adică în forma generală există un model fractal (in)finis „replicat”.

Cu alte cuvinte, un fractal este o structură auto-similară: o structură care conține la diferite niveluri un număr (in)finit de „copii” sale, care într-o măsură sau alta repetă trăsăturile caracteristice ale sistemului în ansamblu (modele, conexiuni structurale, proiecte, imagini, idei etc.) . P.). Modelul fractal, într-un sens sau altul identic cu întregul, este reprodus la fiecare nivel ulterior de o scară mai mică, formând un fel de structură „imbricată”. Asemănarea nu depinde de scara de considerare a structurii fractale, adică fractalul are proprietatea invarianței la scară (scalare). Aceasta înseamnă că trecerea la niveluri mai mici, interne ale fractalului, adică, ca și cum ar fi examinarea secțiunilor structurii fractale la microscop, descoperim din nou. tot la fel (sau similar) configurații fizice sau mentale care erau vizibile în structură în ansamblu. Astfel, orice fragment auto-similar al unei structuri fractale reprezintă întregul, „desfășurând” din sine întregul complex de semnificații și forme inerente fractalului însuși ca o anumită integritate.

Fractalii naturali sunt liniile de coastă, munții, albiile râurilor, copacii cu coroanele și frunzele lor ramificate, fulgii de zăpadă, sistemul circulator și nervos uman etc. Proprietățile fractale sunt demonstrate de sistemele sociale și culturale care au niveluri ierarhice: de exemplu, o țară - o oraș - un cartier; oameni - grup sociocultural - familie etc. Mai mult, orice obiect sociocultural la fiecare dintre multele niveluri ierarhice diferite ale culturii - de la guvern la moda individuală, de la planificarea orașului la modul de împachetare a cadourilor etc. - reprezintă simbolic un auto-similar. modelul culturii sale. Este important de reținut că asemănarea nu înseamnă identitate absolută, vorbim despre o oarecare asemănare fundamentală care se poate manifesta spațial sau conceptual.

Orice fractal poate fi prezentat ca o vizualizare a unui anumit algoritm, un ansamblu de proceduri matematice care au natura unor iterații succesive (repetări multiple ale operațiilor date). Iterații fractale - recursiv, adică fiecare rezultat al pasului anterior servește ca valoare inițială pentru un nou ciclu de auto-reproducere a structurii fractale (model, design, idee).

Astfel, ceea ce este comun tuturor fractalilor este prezența unei proceduri recursive pentru generarea lor și a unui lanț (in)finit de autopoieză (auto-construcție). Într-un sens strict matematic, un fractal este infinit, deci structura fractală n-allea ordin se numește prefractal. Mai mult, cu ajutorul unor formule matematice relativ simple, „se poate descrie forma unui nor la fel de clar și simplu cum descrie un arhitect o clădire folosind desene care folosesc limbajul geometriei tradiționale”. Fractalii matematici sunt infiniti, la fel ca fractalii culturali legati de geneza culturala si transmisia culturala, dar artefactele culturale fractale (de exemplu, cladiri, papusi de cuib sau imagini de pe reclame) au o „profunzime” limitata a fractalitatii, uneori nu mai mult de doua iteratii. niveluri.

Auto-asemănarea fractale:

Pagodă japoneză

Delta râului Lena

Autoasemănarea și natura recursivă a fractalului a făcut posibilă apariția unor concepte non-matematice de fractalitate. Fractalul s-a dovedit a fi o vizualizare clară și operațională a ideii de formare nesfârșită, incompletitudine, procesualitate și dinamica imanent „programată” a tuturor fenomenelor socioculturale. Un fractal, într-adevăr, „nu este o formă finită (n-a văzut nimeni vreodată un fractal, la fel ca un număr?), dar este legea construcției acestei forme”, o „genă de formare a formei”, după cum matematicianul rus. iar filozoful A.V.Voloşinov îl numeşte. Conținutul principal al unui fractal ca concept paradigmatic este desfășurarea nesfârșită la fiecare nou nivel de imersiune într-o structură ordonată sau „haotică”. toate la fel sensuri date în „începutul începuturilor” - cu asemănarea fundamentală neschimbată a părților cu întregul.

O altă calitate importantă a fractalilor este frumusețea uimitoare și spectacolul uluitor al vizualizărilor lor, care demonstrează fie plierea barocă, fie geometria complexă de înaltă tehnologie. Numeroase experimente creative ale artiștilor-programatori cu algoritmi fractali au dus la apariția la sfârșitul secolului al XX-lea a unei întregi mișcări artistice numită pictură fractală sau artă fractală.

Devine evident că fractalii sunt acești „monstri” și „monstrozități”, așa cum i-au numit matematicienii la începutul secolului al XX-lea, „sunt capabili să servească drept instrumente conceptuale centrale pentru a găsi răspunsuri la unele dintre întrebările care l-au bântuit mult timp pe om cu privire la forma lumii în care trăiește”și, să adăugăm, pe care o creează.

Artă digitală fractală

Din cartea Rusia și Europa autor Danilevski Nikolai Yakovlevici

Din cartea Culturologie: note de curs autor Enikeeva Dilnara

1. Conceptul de limbaj de cultură Limba de cultură în sensul larg al acestui concept se referă la acele mijloace, semne, forme, simboluri, texte care permit oamenilor să intre în conexiuni comunicative între ei. Limba culturii este o formă universală de înțelegere a realității, în care

Din cartea Etica: note de curs autor Anikin Daniil Alexandrovici

1. Conceptul de etică Conceptul de „etică” provine din grecescul antic ethos (ethos). La început, etosul a fost înțeles ca un loc de reședință comună, o casă, o locuință, vizuina unui animal, cuib de pasăre. Apoi au început să desemneze în principal natura stabilă a unui fenomen, caracter,

Din cartea Etica autor Zubanova Svetlana Ghenadievna

8. Aristotel. Conceptul de știință Lucrarea lui Aristotel (384–322 î.Hr.) este considerată cea mai înaltă dezvoltare a eticii antice. Acest lucru cu greu ar fi devenit posibil dacă elevul lui Platon nu și-ar fi depășit profesorul făcând o alegere în favoarea adevărului.Cu toții cunoaștem afirmația filozofului: „Deși

Din cartea Sociologie generală autor Gorbunova Marina Iurievna

44. Conceptul de violență Conceptul de violență, ca și cuvântul însuși, are, fără îndoială, o conotație emoțională și morală negativă. În majoritatea învățăturilor morale filozofice și religioase, violența este identificată cu răul. Interdicția decisivă asupra ei „să nu ucizi” înseamnă

Din cartea Teoria culturii autor autor necunoscut

45. Conceptul de non-violență Conceptul de violență are un conținut foarte specific și strict, nu poate fi identificat cu nicio formă de constrângere și oricât de proastă ar fi violența, ea este totuși mai bună decât resemnarea și lașitatea. Violența este considerată justificată ca contraviolență.

Din cartea Metamorphoses of Musical Instrumentation: Neophilosophy of Folk Instrumental Art of the 21st Century autor Varlamov Dmitri Ivanovici

21. Conceptul de cultură Cultura este un concept divers. Acest termen științific a apărut în Roma Antică, unde cuvântul „cultura” însemna cultivarea pământului, creșterea, educația. Cu utilizarea frecventă, acest cuvânt și-a pierdut sensul inițial și a început să însemne cel mai mult

Din cartea Adevărul mitului de Hübner Kurt

15.1. Conceptul de „globalizare” În discuția socio-umanitară din ultimele decenii, locul central este ocupat de înțelegerea unor astfel de categorii ale realității moderne globalizate precum globală, locală, transnațională. Analiza științifică a problemelor societăților moderne,

Din cartea Articole despre semiotica culturii și artei autor Lotman Yuri Mihailovici

Concept științific Construirea unei teorii științifice pe baza experienței anterioare nu înseamnă deloc să urmeze în conformitate cu direcția stabilită. Fără a analiza experiența anterioară, este imposibil să începi să construiești una nouă. Dar experiența poate fi atât pozitivă, cât și negativă; in ultimul caz

Din cartea Limbă și om [Despre problema motivației sistemului lingvistic] autor Shelyakin Mihail Alekseevici

2. Conceptul demitizat al națiunii Există, totuși, nu doar un concept mitic, ci și unul demitizat al națiunii. Acesta din urmă este pe care vreau să mă adresez acum. Bineînțeles că poate defini și o națiune doar prin istoria sa și spațiul aferent acesteia; A

Din cartea Limba presei emigrante ruse (1919-1939) autor Zelenin Alexandru

I. Conceptul de text Articolele din această secțiune au fost publicate pentru prima dată în următoarele publicații: Despre problema tipologiei textului // Rezumate ale rapoartelor la a doua Școală de vară privind sistemele de modelare secundară. 16–21 august 1966 Tartu, 1966. p. 3–5.Text si functie // III Scoala de vara pe

Din cartea Literatura rusă a secolelor 19-20: text istoriozofic autorul Brajnikov I.L.

9.1. Conceptul de polisemie Sistemul semantic al limbajului nu este un set înghețat de sensuri, imobil în dezvoltarea și utilizarea sa. Supunându-se nevoilor de comunicare și rezultatelor dezvoltării activității cognitive umane, acesta, pe lângă ei

Din cartea Fractalii culturii urbane autor Nikolaeva Elena Valentinovna

1. Conceptul de precedent Nume, fapte, evenimente, citate, aluzii, reminiscențe, perifraze sunt elemente necesare și chiar obligatorii ale unui text jurnalistic. Ele „marchează” câmpul semantic în care are loc dialogul cu cititorul unui jurnalist sau al oricărui individ

Din cartea autorului

Din cartea autorului

Niveluri de fractalitate internă a spațiului urban Unul dintre aspectele semnificative ale fractalității interne a unui oraș este asociat cu ierarhia nivelurilor fractale din spațiul său geometric. Modele geometrice fractale ale mediului arhitectural și spațial cu

Din cartea autorului

Orașul pe orizontală: algoritmi pentru stăpânirea fractalului urban Marele oraș este complet saturat de mișcare, pătruns de milioane de traiectorii de mișcare a oamenilor și a mașinilor, intersecții de străzi și linii de viață. Aici literalitatea expresiilor „vârtej” se simte cel mai puternic.

Ce au în comun un copac, un mal de mare, un nor sau vasele de sânge din mâna noastră? Există o proprietate a structurii care este inerentă tuturor obiectelor enumerate: ele sunt auto-asemănătoare. Dintr-o ramură, ca dintr-un trunchi de copac, se extind lăstari mai mici, de la ei chiar mai mici etc., adică o ramură este asemănătoare cu întregul copac. Sistemul circulator este structurat într-un mod similar: arteriolele pleacă din artere, iar din acestea cele mai mici capilare prin care oxigenul pătrunde în organe și țesuturi. Să ne uităm la imaginile din satelit ale coastei mării: vom vedea golfuri și peninsule; Să ne uităm la asta, dar din vedere de pasăre: vom vedea golfuri și pelerine; Acum imaginați-vă că stăm pe plajă și ne uităm la picioare: întotdeauna vor fi pietricele care ies mai mult în apă decât restul. Adică, linia de coastă, când este mărită, rămâne similară cu ea însăși. Matematicianul american (deși a crescut în Franța) Benoit Mandelbrot a numit această proprietate a obiectelor fractalitate, iar astfel de obiecte în sine - fractali (din latinescul fractus - rupt).

Există o poveste interesantă legată de coasta sau, mai precis, de încercarea de a măsura lungimea acesteia, care a stat la baza articolului științific al lui Mandelbrot și este descrisă și în cartea sa „Geometria fractală a naturii”. Vorbim despre un experiment realizat de Lewis Fry Richardson, un matematician, fizician și meteorolog foarte talentat și excentric. Una dintre direcțiile cercetării sale a fost încercarea de a găsi o descriere matematică a cauzelor și probabilității unui conflict armat între două țări. Printre parametrii pe care i-a luat în calcul a fost și lungimea graniței comune a celor două țări în război. Când a colectat date pentru experimente numerice, a descoperit că datele de la granița comună a Spaniei și Portugaliei diferă foarte mult de la diferite surse. Aceasta l-a condus la următoarea descoperire: lungimea granițelor unei țări depinde de rigla cu care le măsurăm. Cu cât scara este mai mică, cu atât chenarul este mai lung. Acest lucru se datorează faptului că, cu o mărire mai mare, devine posibil să se țină cont din ce în ce mai multe coturi noi ale coastei, care anterior au fost ignorate din cauza grosierității măsurătorilor. Și dacă, cu fiecare creștere a scării, sunt dezvăluite curbe ale liniilor necontabile anterior, atunci se dovedește că lungimea limitelor este infinită! Adevărat, acest lucru nu se întâmplă de fapt - acuratețea măsurătorilor noastre are o limită finită. Acest paradox se numește efectul Richardson.

În zilele noastre, teoria fractalilor este utilizată pe scară largă în diverse domenii ale activității umane. Pe lângă pictura fractală, fractalii sunt folosiți în teoria informației pentru a comprima datele grafice (proprietatea auto-asemănării fractalilor este folosită în principal aici - la urma urmei, pentru a reține un mic fragment dintr-o imagine și transformările cu care puteți obține părțile rămase, este necesară mult mai puțină memorie decât pentru stocarea întregului fișier). Adăugând perturbări aleatorii la formulele care definesc un fractal, puteți obține fractali stocastici care transmit foarte plauzibil unele obiecte reale - elemente de relief, suprafața rezervoarelor, unele plante, care este folosit cu succes în fizică, geografie și grafică pe computer pentru a obține o mai mare măsură. asemănarea obiectelor simulate cu cele reale. În electronica radio, în ultimul deceniu, au început să fie produse antene cu formă fractală. Ocupând puțin spațiu, oferă o recepție a semnalului de înaltă calitate. Iar economiștii folosesc fractalii pentru a descrie curbele de fluctuație a cursului valutar (această proprietate a fost descoperită de Mandelbrot cu mai bine de 30 de ani în urmă).

Fractali în natură

Fractal(lat. fractus- zdrobit) este un termen care înseamnă o figură geometrică care are proprietatea auto-asemănării, adică compusă din mai multe părți, fiecare dintre ele similară întregii figuri.

Natura creează adesea fractali uimitori și frumoși, cu o geometrie ideală și o astfel de armonie încât pur și simplu îngheți de admirație.
De la munți giganți până la ceea ce mâncăm la prânz, armonia perfectă se vede peste tot.
Scoici
Nautilus este unul dintre cele mai faimoase exemple de fractal din natură.

Fulgi de nea

Fulger
Fulgerul îngrozește și sperie și în același timp încântă cu frumusețea lui. Fractalii creați de fulgere nu sunt arbitrari sau regulați.

Romanesa
Acest tip special de broccoli, un văr de varză cruciferă și gustoasă, este un fractal deosebit de simetric. Îl poți pregăti pentru profesorul tău preferat de matematică.

Ferigă
Feriga este un bun exemplu de fractal printre floră

Dantela Reginei Ana
Morcovul sălbatic Queen Anne's Lace este un exemplu perfect de fractal floral. Fiecare constelație este copiată exact la fel, doar mai mică. Fotografia a fost făcută de jos pentru a o vedea în toată splendoarea ei.

Brocoli
Deși broccoli nu este la fel de faimos geometric ca romanesa, este și fractal.

Păun
Păunii sunt cunoscuți de toată lumea pentru penajul lor colorat, în care sunt ascunși fractali solidi. Ați văzut vreodată un păun albinos? Uite

Un ananas
Ananasul este un fruct neobișnuit; este, de fapt, un fractal. Deși este adesea asociat cu Hawaii, fructul este originar din sudul Braziliei.

nori
Uită-te pe fereastră acum. Aproape în orice moment puteți vedea fractali pe cer.

Cristale
Gheața, modelele geroase pe ferestre sunt, de asemenea, fractali

Munţi
Crăpăturile montane și liniile de coastă, deși arbitrare în liniile lor, sunt de asemenea fractale

Copaci și frunze
De la o imagine mărită a unei frunze până la ramurile unui copac - fractalii pot fi găsiți în orice

Litoral

Fragmentele individuale ale coastei creează fractalitate. Și aceasta este Florida

Râuri și fiorduri
De la vestul Statelor Unite ale Americii până la fiordurile înghețate din Norvegia, pasagerii companiilor aeriene pot vedea totul. Și le mulțumim unora pentru că au avut curajul de a fotografia o asemenea frumusețe.

arici de mare și stele de mare

Aricii de mare sunt atât de mici și compacti, de parcă ar fi venit din mâna unui bijutier priceput. Dar cine va depăși natura? Și stelele de mare sunt ca o reflectare a celor cerești

Stalagmite și stalactite

În timp ce stalagmitele se ridică din pământ, stalactitele ajung spre el