Unghiurile adiacente sunt egale cu 180. Unghiurile verticale și adiacente. Suma unghiurilor care au un vârf comun

Bună ziua Ultima dată am început să ne uităm la întrebarea: „Cum să înțelegem geometria de clasa a VII-a?” și a atins mai multe definiții de bază, și anume, ce este

Cred că acest lucru este foarte important, pentru că în viitor, când vei studia geometria în clasele a 8-a, a 9-a și mai departe, vei întâlni din ce în ce mai des probleme cu unghiurile adiacente și verticale. De aceea rezolvăm din nou probleme cu unghiuri adiacente.

Problema 1. Poate o pereche de unghiuri adiacente să fie formată din două unghiuri ascuțite? Soluție: Să ne uităm la imaginea de sus. Aici vedem că unghiul a este mai mic de 90°. Acest unghi se numește acut. În același timp, unghiul b este mai mare de 90° și mai mic decât unghiul c = 180°. Acest unghi se numește obtuz. Prin urmare, dacă unul dintre unghiurile adiacente este acut, atunci al doilea trebuie să fie obtuz. Și invers. Excepția sunt unghiurile de 90°. Aceste. Dacă două unghiuri adiacente sunt egale unul cu celălalt, atunci ele sunt egale cu 90°. Prin urmare, nu există două unghiuri acute adiacente.

Problema 2. Unul dintre unghiurile adiacente este cu 56 de grade mai mic decât celălalt. Găsiți valorile acestor unghiuri. Rezolvare: Fie primul unghi egal cu X, apoi al doilea unghi este egal cu X+56. În total dau 180°. Să facem ecuația: X+X+56 = 180 2X = 180 - 56 2X = 124 X=124/2 = 62. Răspuns: primul unghi este de 62°, al doilea este de 62+56 = 118°.

Problema 3. Care este unghiul dintre bisectoarele unghiurilor adiacente? Soluție: Pentru a rezolva această problemă, trebuie să introducem încă un concept - bisectoare. Bisectoarea este o rază care trece în interiorul unui unghi și împarte unghiul în jumătate. Cum se rezolvă o astfel de problemă? Dacă ne uităm la figură, vom vedea că unghiurile AOB și BOC sunt adiacente. Suma lor este de 180°. Bisectoarele OD și OE împart unghiurile AOB și BOC în α și α egale, precum și β și β. De aici obținem: α+α+β+β=180, sau 2α +2β = 180 Reducând laturile drepte și stângi ale ecuației cu 2, obținem rezultatul final: α +β = 90. Unghiul dintre bisectoare a unghiurilor adiacente este ÎNTOTDEAUNA de 90°.

Problema 4. Găsiți unghiuri adiacente dacă gradele lor sunt în raportul 4:11. Soluție: Fie primul unghi 4X, apoi al doilea 11X. În total dau 180°. Alcătuim ecuația: 4X+11X=180 15X = 180 X = 180/15 X=12 4X=4*12 = 48, 11X=11*12 = 132. Răspuns: primul unghi este de 48°, al doilea este de 132°.

Problema 5. Unul dintre unghiurile adiacente este cu 33 de grade mai mare decât jumătate din al doilea unghi adiacent. Găsiți aceste unghiuri. Soluție: Fie jumătate din unghi egal cu X, apoi luați întregul unghi ca fiind 2X. Cel adiacent acestuia este egal cu X la 33°. Alcătuim ecuația: 2X + X + 33 = 180 3X = 180 - 33 3X = 147 X = 147/3 = 49. Răspuns: primul unghi este 49*2 = 98°, al doilea este 49+33 = 82°. Aceasta încheie problemele cu unghiurile adiacente. Data viitoare vom rezolva problemele cu unghiurile verticale. Ne vedem din nou!

În procesul de studiere a unui curs de geometrie, conceptele de „unghi”, „unghiuri verticale”, „unghiuri adiacente” apar destul de des. Înțelegerea fiecăruia dintre termeni vă va ajuta să înțelegeți problema și să o rezolvați corect. Ce sunt unghiurile adiacente și cum să le determinăm?

Unghiuri adiacente - definirea conceptului

Termenul „unghiuri adiacente” caracterizează două unghiuri formate dintr-o rază comună și două semilinii suplimentare situate pe aceeași linie dreaptă. Toate cele trei raze ies din același punct. O semilinie comună este simultan o latură a unuia și a celuilalt unghi.

Unghiuri adiacente - proprietăți de bază

1. Pe baza formulării unghiurilor adiacente, este ușor de observat că suma acestor unghiuri formează întotdeauna un unghi invers, a cărui măsură este de 180°:

• Dacă μ și η sunt unghiuri adiacente, atunci μ + η = 180°.
• Cunoscând mărimea unuia dintre unghiurile adiacente (de exemplu, μ), puteți calcula cu ușurință măsura gradului celui de-al doilea unghi (η) folosind expresia η = 180° – μ.

2. Această proprietate a unghiurilor ne permite să tragem următoarea concluzie: un unghi care este adiacent unghi drept, va fi, de asemenea, direct.

3. Considerând funcțiile trigonometrice (sin, cos, tg, ctg), pe baza formulelor de reducere pentru unghiurile adiacente μ și η, este adevărat:

• sinη = sin(180° – μ) = sinμ,
• cosη = cos(180° – μ) = -cosμ,
• tgη = tg(180° – μ) = -tgμ,
• ctgη ​​​​= ctg(180° – μ) = -ctgμ.

Unghiuri adiacente - exemple

Exemplul 1

Dat un triunghi cu vârfurile M, P, Q – ΔMPQ. Aflați unghiurile adiacente unghiurilor ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM.

• Să extindem fiecare parte a triunghiului cu o linie dreaptă.
• Știind că unghiurile adiacente se completează până la un unghi inversat, aflăm că:

adiacent unghiului ∠QMP este ∠LMP,

adiacent unghiului ∠MPQ este ∠SPQ,

adiacent unghiului ∠PQM este ∠HQP.

Exemplul 2

Valoarea unui unghi adiacent este de 35°. Care este măsura gradului celui de-al doilea unghi adiacent?

• Două unghiuri adiacente se adaugă până la 180°.
• Dacă ∠μ = 35°, atunci adiacent acestuia ∠η = 180° – 35° = 145°.

Exemplul 3

Determinați valorile unghiurilor adiacente dacă se știe că gradul de măsură a unuia dintre ele este de trei ori mai mare decât gradul de măsurare a celuilalt unghi.

• Să notăm mărimea unui unghi (mai mic) cu – ∠μ = λ.
• Apoi, conform condițiilor problemei, valoarea celui de-al doilea unghi va fi egală cu ∠η = 3λ.
• Pe baza proprietății de bază a unghiurilor adiacente, urmează μ + η = 180°

λ + 3λ = μ + η = 180°,

λ = 180°/4 = 45°.

Aceasta înseamnă că primul unghi este ∠μ = λ = 45°, iar al doilea unghi este ∠η = 3λ = 135°.

Abilitatea de a folosi terminologia, precum și cunoașterea proprietăților de bază ale unghiurilor adiacente, vă vor ajuta să rezolvați multe probleme geometrice.

Geometria este o știință cu multe fațete. Ea dezvoltă logica, imaginația și inteligența. Desigur, datorită complexității sale și cantitate uriașă teoreme și axiome, școlarilor nu le place întotdeauna. În plus, este necesar să vă dovediți în mod constant concluziile folosind standarde și reguli general acceptate.

Unghiurile adiacente și verticale sunt parte integrantă a geometriei. Cu siguranță mulți școlari le adoră pur și simplu pentru că proprietățile lor sunt clare și ușor de demonstrat.

Formarea colțurilor

Orice unghi se formează prin intersectarea a două linii drepte sau prin trasarea a două raze dintr-un punct. Ele pot fi numite fie o literă, fie trei, care desemnează secvenţial punctele în care este construit unghiul.

Unghiurile sunt măsurate în grade și pot fi numite diferit (în funcție de valoarea lor). Deci, există un unghi drept, acut, obtuz și desfășurat. Fiecare dintre nume corespunde unei anumite măsurători de grad sau intervalului acesteia.

Un unghi ascuțit este un unghi a cărui măsură nu depășește 90 de grade.

Un unghi obtuz este un unghi mai mare de 90 de grade.

Un unghi se numește drept atunci când gradul său este de 90.

În cazul în care este format dintr-o linie dreaptă continuă și gradul său este 180, se numește extins.

Unghiurile care au o latură comună, a cărei a doua latură se continuă între ele, se numesc adiacente. Ele pot fi fie ascuțite, fie tocite. Intersecția dreptei formează unghiuri adiacente. Proprietățile lor sunt după cum urmează:

1. Suma acestor unghiuri va fi egală cu 180 de grade (există o teoremă care demonstrează acest lucru). Prin urmare, se poate calcula cu ușurință unul dintre ele dacă celălalt este cunoscut.
2. Din primul punct rezultă că unghiurile adiacente nu pot fi formate din două unghiuri obtuze sau două unghiuri acute.

Datorită acestor proprietăți, este întotdeauna posibil să se calculeze măsura gradului unui unghi având în vedere valoarea altui unghi, sau cel puțin raportul dintre ele.

Unghiuri verticale

Unghiurile ale căror laturi sunt o continuare una a celeilalte se numesc verticale. Oricare dintre soiurile lor poate acționa ca o astfel de pereche. Unghiurile verticale sunt întotdeauna egale între ele.

Ele se formează atunci când liniile drepte se intersectează. Alături de ele, unghiurile adiacente sunt întotdeauna prezente. Un unghi poate fi simultan adiacent pentru unul și vertical pentru altul.

Când traversați o linie arbitrară, sunt luate în considerare și alte câteva tipuri de unghiuri. O astfel de linie se numește linie secantă și formează unghiuri corespunzătoare, unilaterale și încrucișate. Sunt egali unul cu altul. Ele pot fi vizualizate în lumina proprietăților pe care le au unghiurile verticale și adiacente.

Astfel, subiectul unghiurilor pare destul de simplu și de înțeles. Toate proprietățile lor sunt ușor de reținut și de dovedit. Rezolvarea problemelor nu pare dificilă atâta timp cât unghiurile corespund valoare numerică. Mai târziu, când începe studiul păcatului și cosului, va trebui să memorezi multe formule complexe, concluziile și consecințele acestora. Până atunci, vă puteți bucura de puzzle-uri simple în care trebuie să găsiți unghiuri adiacente.

Cum să găsești un unghi adiacent?

Matematica este cea mai veche știință exactă, care este studiată obligatoriu în școli, colegii, institute și universități. Cu toate acestea, cunoștințele de bază sunt întotdeauna stabilite la școală. Uneori, copilului i se dau sarcini destul de complexe, dar părinții nu pot ajuta, pentru că pur și simplu au uitat unele lucruri de la matematică. De exemplu, cum să găsiți un unghi adiacent în funcție de dimensiunea unghiului principal etc. Problema este simplă, dar poate cauza dificultăți în rezolvare din cauza necunoașterii ce unghiuri sunt numite adiacente și cum să le găsiți.

Să aruncăm o privire mai atentă asupra definiției și proprietăților unghiurilor adiacente, precum și a modului de calculare a acestora din datele din problemă.

Definiția și proprietățile unghiurilor adiacente

Două raze care emană dintr-un punct formează o figură numită „unghi plan”. În acest caz, acest punct se numește vârful unghiului, iar razele sunt laturile sale. Dacă continuați una dintre raze dincolo de punctul de plecare într-o linie dreaptă, atunci se formează un alt unghi, care se numește adiacent. Fiecare unghi în acest caz are două unghiuri adiacente, deoarece laturile unghiului sunt echivalente. Adică există întotdeauna un unghi adiacent de 180 de grade.

Principalele proprietăți ale unghiurilor adiacente includ

• Unghiurile adiacente au un vârf comun și o latură;
• Suma unghiurilor adiacente este întotdeauna egală cu 180 de grade sau cu numărul Pi dacă calculul se efectuează în radiani;
• Sinusurile unghiurilor adiacente sunt întotdeauna egale;
• Cosinusurile și tangentele unghiurilor adiacente sunt egale, dar au semne opuse.

Cum să găsiți unghiuri adiacente

De obicei, sunt date trei variante de probleme pentru a găsi mărimea unghiurilor adiacente

• Se da valoarea unghiului principal;
• Este dat raportul dintre unghiul principal și cel alăturat;
• Se da valoarea unghiului vertical.

Fiecare versiune a problemei are propria soluție. Să ne uităm la ele.

Este dată valoarea unghiului principal

Dacă problema specifică valoarea unghiului principal, atunci găsirea unghiului adiacent este foarte simplă. Pentru a face acest lucru, trebuie doar să scădeți valoarea unghiului principal de la 180 de grade și veți obține valoarea unghiului adiacent. Această soluție se bazează pe proprietatea unui unghi adiacent - suma unghiurilor adiacente este întotdeauna egală cu 180 de grade.

Dacă valoarea unghiului principal este dată în radiani și problema necesită găsirea unghiului adiacent în radiani, atunci este necesar să se scadă valoarea unghiului principal din numărul Pi, deoarece valoarea unghiului complet desfășurat de 180 de grade este egal cu numărul Pi.

Este dat raportul dintre unghiul principal și cel alăturat

Problema poate da raportul dintre unghiurile principale și adiacente în loc de grade și radiani ai unghiului principal. În acest caz, soluția va arăta ca o ecuație de proporție:

1. Notăm proporția unghiului principal ca variabilă „Y”.
2. Fracția legată de unghiul adiacent este notată ca variabila „X”.
3. Numărul de grade care se încadrează pe fiecare proporție va fi notat, de exemplu, cu „a”.
4. Formula generală va arăta astfel - a*X+a*Y=180 sau a*(X+Y)=180.
5. Găsim factorul comun al ecuației „a” folosind formula a=180/(X+Y).
6. Apoi înmulțim valoarea rezultată a factorului comun „a” cu fracția unghiului care trebuie determinată.

Astfel putem găsi valoarea unghiului adiacent în grade. Cu toate acestea, dacă trebuie să găsiți o valoare în radiani, atunci trebuie pur și simplu să convertiți gradele în radiani. Pentru a face acest lucru, înmulțiți unghiul în grade cu Pi și împărțiți totul la 180 de grade. Valoarea rezultată va fi în radiani.

Se da valoarea unghiului vertical

Dacă problema nu dă valoarea unghiului principal, dar este dată valoarea unghiului vertical, atunci unghiul adiacent poate fi calculat folosind aceeași formulă ca în primul paragraf, unde este dată valoarea unghiului principal.

Un unghi vertical este un unghi care provine din același punct cu cel principal, dar este îndreptat exact în direcția opusă. Rezultă o imagine în oglindă. Aceasta înseamnă că unghiul vertical este egal ca mărime cu cel principal. La rândul său, unghiul adiacent al unghiului vertical este egal cu unghiul adiacent al unghiului principal. Datorită acestui fapt, unghiul adiacent al unghiului principal poate fi calculat. Pentru a face acest lucru, pur și simplu scădeți valoarea verticală de la 180 de grade și obțineți valoarea unghiului adiacent al unghiului principal în grade.

Dacă valoarea este dată în radiani, atunci este necesar să se scadă valoarea unghiului vertical din numărul Pi, deoarece valoarea unghiului complet desfășurat de 180 de grade este egală cu numărul Pi.

De asemenea, puteți citi articole utileȘi .

Întrebarea 1. Ce unghiuri se numesc adiacente?
Răspuns. Două unghiuri sunt numite adiacente dacă au o latură în comun, iar celelalte laturi ale acestor unghiuri sunt semilinii complementare.
În figura 31, unghiurile (a 1 b) și (a 2 b) sunt adiacente. Ele au latura b în comun, iar laturile a 1 și a 2 sunt semilinii suplimentare.

Întrebarea 2. Demonstrați că suma unghiurilor adiacente este de 180°.
Răspuns. Teorema 2.1. Suma unghiurilor adiacente este de 180°.
Dovada. Fie ca unghiul (a 1 b) și unghiul (a 2 b) să fie date unghiuri adiacente (vezi Fig. 31). Raza b trece între laturile a 1 și a 2 ale unui unghi drept. Prin urmare, suma unghiurilor (a 1 b) și (a 2 b) este egală cu unghiul desfășurat, adică 180°. Q.E.D.

Întrebarea 3. Demonstrați că dacă două unghiuri sunt egale, atunci și unghiurile lor adiacente sunt egale.
Răspuns.

Din teoremă 2.1 Rezultă că, dacă două unghiuri sunt egale, atunci unghiurile lor adiacente sunt egale.
Să presupunem că unghiurile (a 1 b) și (c 1 d) sunt egale. Trebuie să demonstrăm că unghiurile (a 2 b) și (c 2 d) sunt de asemenea egale.
Suma unghiurilor adiacente este de 180°. De aici rezultă că a 1 b + a 2 b = 180° și c 1 d + c 2 d = 180°. Prin urmare, a 2 b = 180° - a 1 b și c 2 d = 180° - c 1 d. Deoarece unghiurile (a 1 b) și (c 1 d) sunt egale, obținem că a 2 b = 180° - a 1 b = c 2 d. Din proprietatea tranzitivității semnului egal rezultă că a 2 b = c 2 d. Q.E.D.

Întrebarea 4. Ce unghi se numește drept (acut, obtuz)?
Răspuns. Un unghi egal cu 90° se numește unghi drept.
Un unghi mai mic de 90° se numește unghi ascuțit.
Un unghi mai mare de 90° și mai mic de 180° se numește obtuz.

Întrebarea 5. Demonstrați că un unghi adiacent unui unghi drept este un unghi drept.
Răspuns. Din teorema privind suma unghiurilor adiacente rezultă că un unghi adiacent unui unghi drept este un unghi drept: x + 90° = 180°, x = 180° - 90°, x = 90°.

Întrebarea 6. Ce unghiuri se numesc verticale?
Răspuns. Două unghiuri se numesc verticale dacă laturile unui unghi sunt semilinii complementare ale laturilor celuilalt.

Întrebarea 7. Demonstrați că unghiurile verticale sunt egale.
Răspuns. Teorema 2.2. Unghiurile verticale sunt egale.
Dovada. Fie (a 1 b 1) și (a 2 b 2) unghiurile verticale date (Fig. 34). Unghiul (a 1 b 2) este adiacent unghiului (a 1 b 1) și unghiului (a 2 b 2). De aici, folosind teorema privind suma unghiurilor adiacente, concluzionăm că fiecare dintre unghiurile (a 1 b 1) și (a 2 b 2) completează unghiul (a 1 b 2) la 180°, adică. unghiurile (a 1 b 1) și (a 2 b 2) sunt egale. Q.E.D.

Întrebarea 8. Demonstrați că dacă, atunci când două drepte se intersectează, unul dintre unghiuri este drept, atunci și celelalte trei unghiuri sunt drepte.
Răspuns. Să presupunem că liniile AB și CD se intersectează în punctul O. Să presupunem că unghiul AOD este de 90°. Deoarece suma unghiurilor adiacente este de 180°, obținem că AOC = 180° - AOD = 180° - 90° = 90°. Unghiul COB este vertical față de unghiul AOD, deci sunt egali. Adică unghiul COB = 90°. Unghiul COA este vertical la unghiul BOD, deci sunt egali. Adică unghiul BOD = 90°. Astfel, toate unghiurile sunt egale cu 90°, adică toate sunt unghiuri drepte. Q.E.D.

Întrebarea 9. Ce drepte se numesc perpendiculare? Ce semn este folosit pentru a indica perpendicularitatea dreptelor?
Răspuns. Două drepte se numesc perpendiculare dacă se intersectează în unghi drept.
Perpendicularitatea dreptelor este indicată prin semnul \(\perp\). Intrarea \(a\perp b\) spune: „Linia a este perpendiculară pe dreapta b”.

Întrebarea 10. Demonstrați că prin orice punct de pe o dreaptă puteți trage o dreaptă perpendiculară pe acesta și numai una.
Răspuns. Teorema 2.3. Prin fiecare linie puteți trage o linie perpendiculară pe ea și numai una.
Dovada. Fie a o dreaptă dată și A un punct dat pe ea. Să notăm cu a 1 una dintre semiliniile dreptei a cu punctul de plecare A (Fig. 38). Să scădem un unghi (a 1 b 1) egal cu 90° din semilinia a 1. Atunci linia dreaptă care conține raza b 1 va fi perpendiculară pe dreapta a.

Să presupunem că există o altă dreaptă, care trece tot prin punctul A și perpendiculară pe dreapta a. Să notăm cu c 1 semilinia acestei drepte situată în același semiplan cu raza b 1 .
Unghiurile (a 1 b 1) și (a 1 c 1), fiecare egal cu 90°, sunt așezate într-un semiplan de la semilinia a 1. Dar din semi-linia un 1 poate fi pus într-un semiplan dat un singur unghi egal cu 90°. Prin urmare, nu poate exista o altă dreaptă care trece prin punctul A și perpendiculară pe dreapta a. Teorema a fost demonstrată.

Întrebarea 11. Ce este perpendicular pe o dreaptă?
Răspuns. O perpendiculară pe o dreaptă dată este un segment de dreaptă perpendicular pe o dreaptă dată, care are unul dintre capete în punctul de intersecție. Acest capăt al segmentului se numește bază perpendicular.

Întrebarea 12. Explicați în ce constă dovada prin contradicție.
Răspuns. Metoda de demonstrare pe care am folosit-o în teorema 2.3 se numește demonstrație prin contradicție. Această metodă de demonstrare este că mai întâi facem o presupunere opusă a ceea ce afirmă teorema. Apoi, raționând, bazându-ne pe axiome și teoreme dovedite, ajungem la o concluzie care contrazice fie condițiile teoremei, fie una dintre axiome, fie o teoremă demonstrată anterior. Pe această bază, concluzionăm că presupunerea noastră a fost incorectă și, prin urmare, afirmația teoremei este adevărată.

Întrebarea 13. Care este bisectoarea unui unghi?
Răspuns. Bisectoarea unui unghi este o rază care emană din vârful unghiului, trece între laturile sale și împarte unghiul la jumătate.