Парадоксы апории были выдвинуты в древней греции. Апории зенона и проблема движения. Другие апории Зенона

Электричество

Элейская философская школа (элеаты) существовала в конце - первой половине V века до н. э. , родоначальниками её считаются Ксенофан и Парменид , учитель Зенона. Школа разработала своеобразное учении о бытии. Элеаты отстаивали единство бытия, считая, что представление о множественности вещей во Вселенной есть искусственное разделение . Бытие элеатов полно, реально и познаваемо, однако вместе с тем оно нераздельно, неизменно и вечно, у него нет ни прошлого, ни будущего, ни рождения, ни смерти. Познание этого целостного мира возможно только путём разумных рассуждений, а чувственная картина мира, включая наблюдаемые движения, обманчива и противоречива . При этом геометрический (и вообще математический) метод познания, характерный для пифагорейцев , элеаты также считали уступкой чувственной очевидности, предпочитая чисто логический подход. С этих же позиций они впервые в науке поставили вопрос о допустимости научных понятий, связанных с бесконечностью .

В двух апориях (Ахиллес и Дихотомия) предполагается, что время и пространство непрерывны и неограниченно делимы; Зенон показывает, что это допущение приводит к логическим трудностям. Третья апория («Стрела»), напротив, рассматривает время как дискретное, составленное из точек-моментов; в этом случае, как показал Зенон, возникают другие трудности . Отметим, что неправильно утверждать, будто Зенон считал движение несуществующим, потому что, согласно элейской философии, доказать несуществование чего бы то ни было невозможно: «несуществующее немыслимо и невыразимо» . Цель аргументации Зенона была более узкой: выявить противоречия в позиции оппонента.

Часто в число апорий движения включают «Стадион» (см. ниже), но по тематике этот парадокс скорее относятся к апориям бесконечности. Далее содержание апорий пересказывается с использованием современной терминологии.

Под влиянием возникших философских споров сформировались два взгляда на строение материи и пространства: первый утверждал их бесконечную делимость, а второй - существование неделимых частиц, «атомов ». Каждая из этих школ решала поставленные элеатами проблемы по-своему.

Ахиллес и черепаха

«В стремительном [полёте] стрелы есть момент отсутствия и движения, и остановки».
«Если от палки [длиной] в один чи ежедневно отнимать половину, это не завершится и через 10000 поколений».

Критика апорий Аристотелем

Позиция Аристотеля ясна, но не безупречна - и прежде всего потому, что ему самому не удалось ни обнаружить логические ошибки в доказательствах, ни дать удовлетворительное объяснение парадоксам… Аристотелю не удалось опровергнуть аргументы по той простой причине, что в логическом отношении доказательства Зенона составлены безукоризненно.

Атомистический подход

Эпикур Самосский

Как следствие, наблюдаемое движение из непрерывного становится скачкообразным. Александр Афродисийский , комментатор Аристотеля, так изложил взгляды сторонников Эпикура: «Утверждая, что и пространство, и движение, и время состоят из неделимых частиц, они утверждают также, что движущееся тело движется на всем протяжении пространства, состоящего из неделимых частей, а на каждой из входящих в него неделимых частей движения нет, а есть только результат движения» . Подобный подход сразу обесценивает парадоксы Зенона, так как убирает оттуда все бесконечности.

Обсуждение в Новое время

Полемика вокруг зеноновских апорий продолжилась и в Новое время. До XVII века интерес к апориям не отмечается, и их аристотелевская оценка являлась общепринятой. Первое серьёзное исследование предпринял французский мыслитель Пьер Бейль , автор известного «Исторического и критического словаря» (). В статье о Зеноне Бейль подверг критике позицию Аристотеля и пришёл к выводу, что Зенон прав: понятия времени, протяжённости и движения связаны с трудностями, непреодолимыми для человеческого ума .

Сходные с апориями темы затронуты в антиномиях Канта . Гегель в своей «Истории философии» подчеркнул, что Зенонова диалектика материи «не опровергнута до сегодняшнего дня» (ist bis auf heutigen Tag unwiderlegt ) . Гегель оценил Зенона как «отца диалектики» не только в античном, но и в гегелевском смысле слова диалектика . Он отметил, что Зенон различает чувственно воспринимаемое и мыслимое движение. Последнее, в соответствии со своей философией, Гегель описал как сочетание и конфликт противоположностей, как диалектику понятий . Гегель не даёт ответа на вопрос, насколько этот анализ приложим к реальному движению, ограничившись выводом: «Зенон осознал определения, содержащиеся в наших представлениях о пространстве и времени, и обнаружил заключающиеся в них противоречия»

Во второй половине XIX века анализом парадоксов Зенона занимались многие учёные, высказывавшие самые разные точки зрения. Среди них :

и многие другие.

Современная трактовка

Довольно часто появлялись (и продолжают появляться) попытки математически опровергнуть рассуждения Зенона и тем самым «закрыть тему». Например, построив ряд из уменьшающихся интервалов для апории «Ахиллес и черепаха», можно легко доказать, что он сходится, так что Ахиллес обгонит черепаху. В этих «опровержениях», однако, подменяется суть спора. В апориях Зенона речь идёт не о математической модели, а о реальном движении, и поэтому бессмысленно ограничить анализ парадокса внутриматематическими рассуждениями - ведь Зенон как раз и ставит под сомнение применимость к реальному движению идеализированных математических понятий . О проблеме адекватности реального движения и его математической модели см. следующий раздел данной статьи.

Обычно этот парадокс пытаются обойти рассуждением о том, что сумма бесконечного числа этих временных интервалов всё-таки сходится и, таким образом, даёт конечный промежуток времени. Однако это рассуждение абсолютно не затрагивает один существенно парадоксальный момент, а именно парадокс, заключающийся в том, что некая бесконечная последовательность следующих друг за другом событий, последовательность, завершаемость которой мы не можем себе даже представить (не только физически, но хотя бы в принципе), на самом деле всё-таки должна завершиться .

Серьёзные исследования апорий Зенона рассматривают физическую и математическую модели совместно. Р. Курант и Г. Роббинс полагают, что для разрешения парадоксов необходимо существенно углубить наше понимание физического движения . С течением времени движущееся тело последовательно проходит все точки своей траектории, однако если для любого ненулевого интервала пространства и времени нетрудно указать следующий за ним интервал, то для точки (или момента) невозможно указать следующую за ней точку, и это нарушает последовательность. «Остаётся неизбежное расхождение между интуитивной идеей и точным математическим языком, предназначенным для того, чтобы описывать её основные линии в научных, логических терминах. Парадоксы Зенона ярко обнаруживают это несоответствие.»

Гильберт и Бернайс высказывают мнение, что суть парадоксов состоит в неадекватности непрерывной, бесконечно делимой математической модели, с одной стороны, и физически дискретной материи, с другой : «мы вовсе не обязательно должны верить в то, что математическое пространственно-временное представление движения имеет физическое значение для произвольно малых интервалов пространства и времени». Другими словами, парадоксы возникают из-за некорректного применения к реальности идеализированных понятий «точка пространства» и «момент времени», которые не имеют в реальности никаких аналогов, потому что любой физический объект имеет ненулевые размеры, ненулевую длительность и не может быть делим бесконечно.

Близкую точку зрения можно найти у Анри Бергсона :

Противоречия, на которые указывает школа элеатов, касаются не столько самого движения как такового, сколько того искусственного преобразования движения, которое совершает наш разум.

Вопрос о бесконечной делимости пространства (бесспорно, поставленный еще ранними пифагорейцами) привёл, как известно, к значительным затруднениям в философии: от Элеатов до Больцано и Кантора математики и философы не в силах были разрешить парадокса - как конечная величина может состоять из бесконечного числа точек, не имеющих размера.

Замечание Бурбаки означает, что необходимо объяснить: каким образом физический процесс за конечное время принимает бесконечно много различных состояний. Одно из возможных объяснений: пространство-время в действительности является дискретным , то есть существуют минимальные порции (кванты) как пространства, так и времени . Если это так, то все парадоксы бесконечности в апориях исчезают. Дискретное пространство-время активно обсуждалось физиками ещё в 1950-е годы - в частности, в связи с проектами единой теории поля , - однако существенного продвижения по этому пути добиться не удалось.

С. А. Векшенов считает, что для решения парадоксов необходимо ввести числовую структуру, более соответствующую интуитивно-физическим представлениям, чем канторовский точечный континуум . Пример неконтинуальной теории движения предложил Садео Шираиши .

Адекватность аналитической теории движения

Общая теория движения с переменной скоростью была разработана в конце XVII века Ньютоном и Лейбницем . Математической основой теории служит математический анализ , первоначально опиравшийся на понятие бесконечно малой величины. В дискуссии о том, что собой представляет бесконечно малая, вновь возродились два античных подхода .

Первый подход, которого придерживался Лейбниц, доминировал весь XVIII век . Аналогично античному атомизму, он рассматривает бесконечно малые как особый вид чисел (больше нуля, но меньше любого обычного положительного числа). Строгое обоснование этого подхода (так называемый нестандартный анализ) разработал Абрахам Робинсон в XX веке . Основой анализа по Робинсону служит расширенная числовая система (гипервещественные числа ). Конечно, робинсоновские бесконечно малые мало похожи на античные атомы хотя бы потому, что они неограниченно делимы, но они позволяют корректно рассматривать непрерывную кривую во времени и пространстве как состоящую из бесконечного количества бесконечно малых участков.
Второй подход предложил Коши в начале XIX века . Его анализ построен на обычных вещественных числах , а для анализа непрерывных зависимостей используется теория пределов . Сходного мнения на обоснование анализа придерживались Ньютон , Даламбер и Лагранж , хотя были в этом мнении не всегда последовательны.

Оба подхода практически эквивалентны, но с точки зрения физика удобнее первый; в учебниках физики часто встречаются фразы вроде «пусть dV - бесконечно малый объём…». С другой стороны, вопрос о том, какой из подходов ближе к физической реальности, не решён. При первом подходе неясно, чему соответствуют в природе бесконечно малые числа. При втором адекватности физической и математической модели мешает тот факт, что операция перехода к пределу - инструментальный исследовательский приём, не имеющий никакого природного аналога. В частности, трудно говорить о физической адекватности бесконечных рядов, элементы которых относятся к произвольно малым интервалам пространства и времени (хотя как приближённая модель реальности такие модели часто и успешно используются) . Наконец, не доказано, что время и пространство устроены сколько-нибудь похоже на математические структуры вещественных или гипервещественных чисел .

Дополнительную сложность внесла в вопрос квантовая механика , показавшая, что в микромире резко повышена роль дискретности. Таким образом, дискуссии о структуре пространства, времени и движения, начатые Зеноном, активно продолжаются и далеки от завершения.

Другие апории Зенона

Вышеприведенные (наиболее известные) апории Зенона касались применения понятия бесконечности к движению, пространству и времени. В других апориях Зенон демонстрирует иные, более общие аспекты бесконечности. Однако, в отличие от трёх знаменитых апорий о физическом движении, другие апории изложены менее ясно и касаются в основном чисто математических или общефилософских аспектов. С появлением математической теории бесконечных множеств интерес к ним существенно упал.

Стадион

Апория «Стадион» (или «Ристалище») у Аристотеля («Физика», Z, 9) сформулирована не вполне ясно:

Четвертый [аргумент] - о равных телах, движущихся по стадиону в противоположных направлениях параллельно равных [им тел]; одни [движутся] от конца стадия, другие - от середины с равной скоростью, откуда, как он думает, следует, что половина времени равна двойному.

Исследователи предлагали разные истолкования этой апории. Л. В. Блинников сформулировал её следующим образом: .

С. А. Яновская предлагает иное истолкование, основанное на атомистических предпосылках :

Пусть время состоит из неделимых протяженных атомов. Представим себе на противоположных концах ристалища двух бегунов, настолько быстрых, что на пробег от одного до другого конца ристалища каждому из них требуется один только атом времени. И пусть оба одновременно выбегают с противоположных концов. Когда произойдет их встреча, неделимый атом времени разделится пополам, т. е. в атомы времени тела не могут двигаться, как это и было предположено в апории <Стрела>.

По другим интерпретациям, эта апория аналогична парадоксу Галилея : бесконечное множество может быть равномощно своей части.

Множественность

Часть апорий посвящена обсуждению вопроса о единстве и множественности мира .

Сходные вопросы обсуждаются в диалоге Платона «Парменид» , где Зенон и Парменид обстоятельно разъясняют свою позицию. На современном языке данное рассуждение Зенона означает , что множественное бытие не может быть актуально бесконечно и поэтому должно быть конечно, но к существующим вещам всегда можно добавить новые, что противоречит конечности. Вывод: бытие не может быть множественным.

Комментаторы обращают внимание на то, что данная апория по своей схеме чрезвычайно напоминает открытые на рубеже XIX -XX веков антиномии теории множеств , особенно парадокс Кантора : с одной стороны, мощность множества всех множеств больше, чем мощность любого другого множества, но с другой стороны, для любого множества нетрудно указать множество большей мощности (теорема Кантора). Это противоречие, вполне в духе апории Зенона, разрешается однозначно: абстракция множества всех множеств признаётся недопустимой и несуществующей как научное понятие.

Мера

Доказав, что, «если вещь не имеет величины, она не существует», Зенон прибавляет: «Если вещь существует, необходимо, чтобы она имела некоторую величину, некоторую толщину и чтобы было некоторое расстояние между тем, что представляет в ней взаимное различие». То же можно сказать о предыдущей, о той части этой вещи, которая предшествует по малости в дихотомическом делении. Итак, это предыдущее должно также иметь некоторую величину и свое предыдущее. Сказанное один раз можно всегда повторять. Таким образом, никогда не будет крайнего предела, где не было бы различных друг от друга частей. Итак, если есть множественность, нужно, чтобы вещи были в одно и то же время велики и малы и настолько малы, чтобы не иметь величины, и настолько велики, чтобы быть бесконечными… У чего нет совершенно ни величины, ни толщины, ни объёма, того и вовсе нет.

Другими словами, если деление вещи пополам сохраняет её качество, то в пределе получаем, что вещь одновременно и бесконечно велика (поскольку неограниченно делима), и бесконечно мала. Кроме того, непонятно, как существующая вещь может иметь бесконечно малые измерения.

Более подробно эти же аргументы присутствуют в комментариях Филопона . Также аналогичные рассуждения Зенона цитирует и критикует Аристотель в своей «Метафизике» :

Если само-по-себе-единое неделимо, то, согласно положению Зенона, оно должно быть ничем. В самом деле, если прибавление чего-то к вещи не делает ее больше и отнятие его от неё не делает её меньше, то, утверждает Зенон, это нечто не относится к существующему, явно полагая, что существующее - это величина, а раз величина, то и нечто телесное: ведь телесное есть в полной мере сущее; однако другие величины, например плоскость и линия, если их прибавлять, в одном случае увеличивают, а в другом нет; точка же и единица не делают этого никаким образом. А так как Зенон рассуждает грубо и так как нечто неделимое может существовать, и притом так, что оно будет некоторым образом ограждено от Зеноновых рассуждений (ибо если такое неделимое прибавлять, оно, правда, не увеличит, но умножит), то спрашивается, как из одного такого единого или нескольких получится величина? Предполагать это - всё равно что утверждать, что линия состоит из точек.

О месте

В изложении Аристотеля апория утверждает: если всё существующее помещается в известном пространстве (месте , греч. топос ), то ясно, что будет и пространство пространства, и так идёт в бесконечность . Аристотель замечает на это, что место не есть вещь и не нуждается в собственном месте. Данная апория допускает расширенное толкование, поскольку элеаты не признавали пространство отдельно от тел, в нём расположенных, то есть отождествляли материю и пространство, ею занимаемое . Хотя Аристотель и отвергает рассуждение Зенона, но в своей «Физике» он приходит по существу к тому же выводу, что и элеаты: место существует лишь относительно тел, в нём находящихся. При этом Аристотель обходит молчанием естественный вопрос, как происходит изменение места при движении тела .

Медимн зерна

Формулировка Зенона подвергалась критике, так как парадокс легко объясняется ссылкой на порог восприятия звука - отдельное зерно падает не бесшумно, а очень тихо, поэтому звука падения не слышно. Смысл апории - доказать, что часть не подобна целому (качественно отличается от него) и, следовательно, бесконечная делимость невозможна . Аналогичные парадоксы предложил в IV веке до н. э. Евбулид - парадоксы «Лысый» и «Куча»: «одно зерно - не куча, добавление одного зерна не меняет дела, с какого же количества зёрен начинается куча?»

Историческое значение апорий Зенона

«Зенон вскрыл противоречия, в которые впадает мышление при попытке постигнуть бесконечное в понятиях. Его апории - это первые парадоксы, возникшие в связи с понятием бесконечного» . Чёткое различение потенциальной и актуальной бесконечности у Аристотеля - во многом результат осмысления зеноновских апорий. Другие исторические заслуги элейских парадоксов:

Как уже отмечалось выше, формирование античного атомизма было попыткой дать ответ на вопросы, поставленные апориями. В дальнейшем к исследованию вопроса привлекались математический анализ , теория множеств , новые физические и философские подходы; ни один из них не стал общепризнанным решением вопроса, но сам факт непрерывного живого интереса к древней проблеме показывает её эвристическую плодотворность.

Различные точки соприкосновения апорий Зенона с современной наукой обсуждаются в статье Зураба Силагадзе . В заключении этой статьи автор приходит к выводу:

Проблемы, поставленные два с половиной тысячелетия назад и с тех пор многократно изученные, до сих пор не исчерпаны. Парадоксы Зенона затрагивают фундаментальные аспекты реальности - локализацию, движение, пространство и время. Время от времени обнаруживаются новые и неожиданные грани этих понятий, и каждое столетие находит полезным снова и снова возвращаться к Зенону. Процесс достижения их окончательного разрешения представляется бесконечным, и наше понимание окружающего мира всё ещё неполно и фрагментарно.

Апории Зенона в литературе и искусстве

В этом историческом анекдоте «мудрец брадатый» - это сторонник Зенона (комментатор Элиас, как сказано выше, приписывал аргументацию самому Зенону ), а его оппонентом в разных вариантах анекдота выступает Диоген или Антисфен (оба они жили существенно позднее Зенона, так что с ним самим спорить не могли). Одна из версий анекдота, упоминаемая Гегелем , сообщает, что когда элеат признал аргумент Диогена убедительным, Диоген побил его палкой за чрезмерное доверие к очевидности .

В основе сюжета фантастического рассказа Ф. Дика «О неутомимой лягушке» лежит апория «Дихотомия».

См. также

Примечания

, с. 90
, часть 14
, 29. ЗЕНОН ЭЛЕЙСКИЙ
, с. 15-16
, с. 116-118
Ивин А. А. По законам логики . - М .: Молодая гвардия, 1983. - 208 с. - («Эврика»).
Большая советская энциклопедия // Апория .
, часть 16
Лосев А. Ф. Зенон Элейский // Философская энциклопедия . - М .: Советская энциклопедия, 1962. - Т. 2.
Асмус В. Ф. Элейская школа // Античная философия . - М .: Высшая школа, 2005. - 408 с. - ISBN 5-06-003049-0
, часть 15
, с. 50-52
, с. 18-20
, Яновская С. А.
, с. 21
«Физика» Аристотеля.
, с. 29-30
, с. 38
Лурье С. Очерки из истории античной науки. - М.-Л.: Изд. АН СССР, 1947. - С. 181. - 403 с.
, с. 31-35
, с. 35-41
Гегель Г. В. Ф. Сочинения в 14 тт. - М .: Соцэкгиз, 1959. - Т. IX. - С. 244.
Таннери П. Первые шаги древнегреческой науки. - СПб. , 1902.
Papa-Grimaldi, Alba. Why Mathematical Solutions of Zeno"s Paradoxes Miss the Point: Zeno"s One and Many Relation and Parmenides" Prohibition . The Review of Metaphysics (1996). Архивировано из первоисточника 28 августа 2011.
Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики. - М ., 1979. - С. 40.
Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика . - 3-е изд.. - М .: МЦНМО, 2001. - С. 353. - 568 с. - ISBN 5-900916-45-6
, с. 93
Цит. по: Данциг, Тобиас. Числа - язык науки. - М .: Техносфера, 2008. - С. 111. - ISBN 978-5-94836-172-7
Николя Бурбаки . Архитектура математики. Очерки по истории математики. - М .: Иностранная литература, 1963. - С. 38.
van Bendegem, Jean Paul (1987). «Discussion:Zeno"s Paradoxes and the Tile Argument ». Philosophy of Science 54 : 295-302. Проверено 2010-02-27.
Кузнецов Б. Г. Эйнштейн. Жизнь. Смерть. Бессмертие. - 5-е изд., перераб. и доп.. - М .: Наука, 1980. - С. 368-374.
Клайн М. Математика. Утрата определённости . - М .: Мир, 1984. - С. 401-402.
Успенский В. А. Что такое нестандартный анализ . - М .: Наука, 1987.
Гайденко П. П. Понятие времени и проблема континуума . Архивировано из первоисточника 14 августа 2011. Проверено 10 января 2011.
Silagadze, Z. K. Zeno meets modern science (англ.) . Архивировано
Блинников Л. В. Краткий словарь философских персоналий . Архивировано из первоисточника 14 августа 2011. Проверено 30 апреля 2010.
, с. 127
Zeno’s Paradoxes , Stanford Encyclopedia of Philosophy.
Зенон Элейский . - Энциклопедия Кругосвет. Архивировано из первоисточника 14 августа 2011. Проверено 30 декабря 2010.
Аристотель. Метафизика , книга I, глава IV.
Аристотель. Физика, IV, 1, 209а.
, с. 124-129
Ивин А. А. Логика. Учебное пособие, глава 7 .
, с. 122-124
, с. 27
, с. 89
ДВИЖЕНИЕ.
, с. 19
Кэрролл, Льюис. Двухчастная инвенция, или Что черепаха сказала Ахиллесу // Знание - сила . - 1991. - № 9. - С. 6-12.
Валери, Поль. Кладбище у моря.

Литература

Античные авторы

Античные философы о Зеноне . Архивировано из первоисточника 14 августа 2011. Проверено 21 декабря 2010.
Аристотель. Физика . - В сборнике: Философы Греции. Основы основ: логика, физика, этика. - Харьков: ЭКСМО, 1999. - 1056 с. - ISBN 5-04-003348-6
Платон. Парменид . - В сборнике: Платон, Сочинения в трёх томах. - М .: Мысль, 1968-1972. - (Философское наследие).
Фрагменты ранних греческих философов. Часть I. От эпических теокосмогоний до возникновения атомистики . - М .: Наука, 1989. - 576 с.

Книги современных авторов

Асмус В. Ф. История античной философии. - М .: Высшая школа, 1965. - С. 40-45.
Гайденко П. П. . - М .: Наука, 1980.
История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича , в трёх томах. - М .: Наука, 1970. - Т. I. - С. 88-93.
Комарова В. Я. Учение Зенона Элейского: попытка реконструкции системы аргументов // Вестник ЛГУ . - Л. , 1988.
Кузнецов Б. Г. Эволюция картины мира. - 1-е изд. (2-е издание: УРСС, 2010). - М .: Издательство АН СССР, 1961. - 352 с. - (Из наследия мировой философской мысли: философия науки). - ISBN 978-5-397-01479-3 .
Маковельский А. О. Досократики. В 3 томах . - Минск: Харвест, 1999. - 784 с. - (Классическая философская мысль). .
Смородинов Р. А. Философия последовательного сомнения. - Волгоград: Принт, 2006. - С. 41-68.
Grünbaum A. Modern science and Zeno"s Paradoxes. - Allen & Unwin, 1968. - 153 p. - ISBN 978-0045130047
Guénon R. Les Principes du Calcul infinitésimal. - Gallimard, 1946 и многочисленные переиздания. - «Принципы вычисления бесконечно малых»
Salmon W. C. (editor) Zeno’s paradoxes. - 2nd ed.. - Indianapolis: Hackett Publishing Co. Inc., 2001. - 320 p. - ISBN 978-0872205604

Краткая библиография научных статей с анализом апорий

Литература перечислена в хронологическом порядке.

Сватковский В. П. Парадокс Зенона о летящей стреле // Журнал Министерства народного просвещения . - 1888. - № 4 отд. 5. - С. 203-239.
Херсонский Н. Х. У истоков теории познания. По поводу аргументов Зенона против движения // . - 1911. - № XXXIV (август) отд. 2. - С. 207-221.
Больцано Б. Парадоксы безконечнаго . - Одесса, 1911.
Богомолов С. А. Аргументы Зенона Элейского при свете учения об актуальной бесконечности // Журнал Министерства народного просвещения . - 1915, нов.сер.. - № LVI (апрель). - С. 289-328.
Дмитриев Г. Еще раз о парадоксе Зенона «Ахиллес и черепаха» и путанице В.Фридмана // Под знаменем марксизма . - 1928. - № 4.
Богомолов С. А. Актуальная бесконечность: Зенон Элейский, Исаак Ньютон и Георг Кантор. - Л.-М., 1934.
Яновская С. А. Апории Зенона //

И др. Эти дискуссии продолжаются и в настоящее время (см. ), прийти к общему мнению о сущности парадоксов научному сообществу пока не удалось .

Философия элеатов

Элейская философская школа (элеаты) существовала в период с конца VI века до н. э. до первой половины V века до н. э., родоначальником её считается Парменид , учитель Зенона. Школа разработала своеобразное учение о бытии. Парменид изложил свои философские взгляды в поэме, от которой до нас дошли отдельные фрагменты .

Элеаты отстаивали единство бытия, считая, что представление о множественности вещей во Вселенной ошибочно . Бытие элеатов полно, реально и познаваемо, однако вместе с тем оно нераздельно, неизменно и вечно, у него нет ни прошлого, ни будущего, ни рождения, ни смерти. Мышление, говорилось в поэме Парменида, по своему содержанию тождественно предмету мышления («одно и то же - мышление и то, о чём мысль»). Далее Парменид логически выводит характеристики истинно сущего: оно «не возникло, не уничтожимо, целокупно [не имеет частей] , единственно, неподвижно и нескончаемо [во времени]».

Познание этого целостного мира возможно только путём разумных (логических) рассуждений, а чувственная картина мира, включая наблюдаемые движения, обманчива и противоречива . С этих же позиций элеаты впервые в науке поставили вопрос о допустимости научных понятий, связанных с бесконечностью .

«В стремительном [полёте] стрелы есть момент отсутствия и движения, и остановки».
«Если от палки [длиной] в один чи ежедневно отнимать половину, это не завершится и через 10000 поколений».

Критика апорий Аристотелем

Позиция Аристотеля ясна, но не безупречна - и прежде всего потому, что ему самому не удалось ни обнаружить логические ошибки в доказательствах, ни дать удовлетворительное объяснение парадоксам… Аристотелю не удалось опровергнуть аргументы по той простой причине, что в логическом отношении доказательства Зенона составлены безукоризненно.

Атомистический подход

Обсуждение в Новое время

и многие другие.

Современная трактовка

Обычно этот парадокс пытаются обойти рассуждением о том, что сумма бесконечного числа этих временных интервалов всё-таки сходится и, таким образом, даёт конечный промежуток времени. Однако это рассуждение абсолютно не затрагивает один существенно парадоксальный момент, а именно парадокс, заключающийся в том, что некая бесконечная последовательность следующих друг за другом событий, последовательность, завершаемость которой мы не можем себе даже представить (не только физически, но хотя бы в принципе), на самом деле всё-таки должна завершиться .

Близкие точки зрения можно найти у Анри Бергсона и у Николя Бурбаки . Согласно Анри Бергсону :

Противоречия, на которые указывает школа элеатов, касаются не столько самого движения как такового, сколько того искусственного преобразования движения, которое совершает наш разум.

Бергсон полагал, что есть принципиальная разница между движением и пройденным расстоянием. Пройденное расстояние можно произвольно делить, между тем как движение произвольному делению не поддаётся. Каждый шаг Ахиллеса и каждый шаг черепахи должны рассматриваться как неделимые. Это же относится и к полёту стрелы:

Истина заключается в том, что если стрела выходит из точки А и попадает в точку В, то её движение АВ так же просто, так же неразложимо - поскольку это есть движение, - как напряжение пускающего её лука.
- Бергсон А. Творческая эволюция. Глава четвёртая. Кинематографический механизм мышления и механистическая иллюзия. Взгляд на историю систем, реальное становление и ложный эволюционизм

Вопрос о бесконечной делимости пространства (бесспорно, поставленный ещё ранними пифагорейцами) привёл, как известно, к значительным затруднениям в философии: от Элеатов до Больцано и Кантора математики и философы не в силах были разрешить парадокса - как конечная величина может состоять из бесконечного числа точек, не имеющих размера.

Теория, согласно которой пространство непрерывно, мне кажется неверной, потому что [в квантовой механике] она приводит к бесконечно большим величинам и другим трудностям. Кроме того, она не дает ответа на вопрос о том, чем определяются размеры всех частиц. Я сильно подозреваю, что простые представления геометрии, распространенные на очень маленькие участки пространства, неверны.

Дискретное пространство-время активно обсуждалось физиками ещё в 1950-е годы - в частности, в связи с проектами единой теории поля , - однако существенного продвижения по этому пути добиться не удалось.

«Математический энциклопедический словарь » считает, что сущность апорий достаточно глубока, и рассматривает разные пути решения проблемы :

Можно оспаривать удобство или адекватность реальному движению общеупотребительной математической модели. Для исследования концепции физических бесконечно малых и бесконечно больших величин неоднократно предпринимались попытки построения теории действительных чисел, в которой аксиома Архимеда не имеет места. Во всяком случае, теория неархимедовых упорядоченных полей является весьма содержательной частью современной алгебры.

Следующий раздел данной статьи содержит более подробное изложение этой темы.

Адекватность аналитической теории движения

Первый подход, которого придерживался Лейбниц, доминировал весь XVIII век . Аналогично античному атомизму, он рассматривает бесконечно малые как особый вид чисел (больше нуля, но меньше любого обычного положительного числа). Строгое обоснование этого подхода (так называемый нестандартный анализ) разработал Абрахам Робинсон в XX веке . Основой анализа по Робинсону служит расширенная числовая система (гипервещественные числа ). Конечно, робинсоновские бесконечно малые мало похожи на античные атомы хотя бы потому, что они неограниченно делимы, но они позволяют корректно рассматривать непрерывную кривую во времени и пространстве как состоящую из бесконечного количества бесконечно малых участков.
Второй подход предложил Коши в начале XIX века . Его анализ построен на обычных вещественных числах , а для анализа непрерывных зависимостей используется понятие предела . Сходного мнения на обоснование анализа придерживались Ньютон , Д’Аламбер и Лагранж , хотя были в этом мнении не всегда последовательны.

Оба подхода практически эквивалентны, но с точки зрения физики удобнее первый; в учебниках физики часто встречаются фразы вроде «пусть dV - бесконечно малый объём…». С другой стороны, вопрос о том, какой из подходов ближе к физической реальности, не решён. При первом подходе неясно, чему соответствуют в природе бесконечно малые числа. При втором адекватности физической и математической модели мешает тот факт, что операция перехода к пределу - инструментальный исследовательский приём, не имеющий никакого природного аналога. В частности, трудно говорить о физической адекватности бесконечных рядов, элементы которых относятся к произвольно малым интервалам пространства и времени (хотя как приближённая модель реальности такие модели часто и успешно используются) . Наконец, не доказано, что время и пространство устроены сколько-нибудь похоже на математические структуры вещественных или гипервещественных чисел .

Другие апории Зенона

Вышеприведённые (наиболее известные) апории Зенона касались применения понятия бесконечности к движению, пространству и времени. В других апориях Зенон демонстрирует иные, более общие аспекты бесконечности. Однако, в отличие от трёх знаменитых апорий о физическом движении, другие апории изложены менее ясно и касаются в основном чисто математических или общефилософских аспектов. С появлением математической теории бесконечных множеств интерес к ним существенно упал.

Стадион

Апория «Стадион» (или «Ристалище») у Аристотеля («Физика», Z, 9) сформулирована не вполне ясно:

Четвертый [аргумент] - о равных телах, движущихся по стадиону в противоположных направлениях параллельно равных [им тел]; одни [движутся] от конца стадия, другие - от середины с равной скоростью, откуда, как он думает, следует, что половина времени равна двойному.

Исследователи предлагали разные истолкования этой апории. Л. В. Блинников сформулировал её следующим образом :

Пусть время состоит из неделимых протяженных атомов. Представим себе на противоположных концах ристалища двух бегунов, настолько быстрых, что на пробег от одного до другого конца ристалища каждому из них требуется один только атом времени. И пусть оба одновременно выбегают с противоположных концов. Когда произойдет их встреча, неделимый атом времени разделится пополам, то есть в атомы времени тела не могут двигаться, как это и было предположено в апории «Стрела».

По другим интерпретациям, идея этой апории аналогична парадоксу Галилея или «колесу Аристотеля» : бесконечное множество может быть равномощно своей части .

Множественность

Часть апорий посвящена обсуждению вопроса о единстве и множественности мира .

Мера

Доказав, что, «если вещь не имеет величины, она не существует», Зенон прибавляет: «Если вещь существует, необходимо, чтобы она имела некоторую величину, некоторую толщину и чтобы было некоторое расстояние между тем, что представляет в ней взаимное различие». То же можно сказать о предыдущей, о той части этой вещи, которая предшествует по малости в дихотомическом делении. Итак, это предыдущее должно также иметь некоторую величину и своё предыдущее. Сказанное один раз можно всегда повторять. Таким образом, никогда не будет крайнего предела, где не было бы различных друг от друга частей. Итак, если есть множественность, нужно, чтобы вещи были в одно и то же время велики и малы и настолько малы, чтобы не иметь величины, и настолько велики, чтобы быть бесконечными… У чего нет совершенно ни величины, ни толщины, ни объёма, того и вовсе нет.

Если само-по-себе-единое неделимо, то, согласно положению Зенона, оно должно быть ничем. В самом деле, если прибавление чего-то к вещи не делает её больше и отнятие его от неё не делает её меньше, то, утверждает Зенон, это нечто не относится к существующему, явно полагая, что существующее - это величина, а раз величина, то и нечто телесное: ведь телесное есть в полной мере сущее; однако другие величины, например плоскость и линия, если их прибавлять, в одном случае увеличивают, а в другом нет; точка же и единица не делают этого никаким образом. А так как Зенон рассуждает грубо и так как нечто неделимое может существовать, и притом так, что оно будет некоторым образом ограждено от Зеноновых рассуждений (ибо если такое неделимое прибавлять, оно, правда, не увеличит, но умножит), то спрашивается, как из одного такого единого или нескольких получится величина? Предполагать это - всё равно что утверждать, что линия состоит из точек.

О месте

Медимн зерна

Формулировка Зенона подвергалась критике, так как парадокс легко объясняется ссылкой на порог восприятия звука - отдельное зерно падает не бесшумно, а очень тихо, поэтому звука падения не слышно. Смысл апории - доказать, что часть не подобна целому (качественно отличается от него) и, следовательно, бесконечная делимость невозможна . Аналогичные парадоксы предложил в IV веке до н. э. Евбулид - парадоксы «Лысый» и «Куча »: «одно зерно - не куча, добавление одного зерна не меняет дела, с какого же количества зёрен начинается куча?»

Историческое значение апорий Зенона

Проблемы, поставленные два с половиной тысячелетия назад и с тех пор многократно изученные, до сих пор не исчерпаны. Парадоксы Зенона затрагивают фундаментальные аспекты реальности - локализацию, движение, пространство и время. Время от времени обнаруживаются новые и неожиданные грани этих понятий, и каждое столетие находит полезным снова и снова возвращаться к Зенону. Процесс достижения их окончательного разрешения представляется бесконечным, и наше понимание окружающего мира всё ещё неполно и фрагментарно.

Апории Зенона в литературе и искусстве

В основе сюжета фантастического рассказа Ф. Дика «О неутомимой лягушке» лежит апория «Дихотомия».

Апория про Ахиллеса неоднократно упоминается в произведениях Борхеса . Парадоксальная ситуация, описанная в ней, нашла также отражение в различных юмористических произведениях . Такэси Китано в 2008 году снял фильм «Ахиллес и черепаха» .

См. также

Примечания

, с. 90.
, часть 14.
, 29. ЗЕНОН ЭЛЕЙСКИЙ.
, с. 15-16.
, с. 116-118.
Ивин А. А. По законам логики . - М. : Молодая гвардия, 1983. - 208 с. - («Эврика»).
Рожанский И. Д. Античная наука. - М. : Наука, 1980. - С. 52. - 198 с. - (История науки и техники).
Большая советская энциклопедия // Апория .
Парменид / А. В. Лебедев // Новая философская энциклопедия В. С. Стёпин Мысль , 2010. - 2816 с.
Элейская школа / А. В. Лебедев // Новая философская энциклопедия : в 4 т. / пред. науч.-ред. совета В. С. Стёпин . - 2-е изд., испр. и доп. - М. : Мысль , 2010. - 2816 с.
Рожанский И. Д. Ранняя греческая философия // Фрагменты ранних греческих философов
, часть 16.
Лосев А. Ф. Зенон Элейский // Философская энциклопедия . - М. : Советская энциклопедия, 1962. - Т. 2.
Асмус В. Ф. Элейская школа // Античная философия. - М. : Высшая школа, 2005. - 408 с. - ISBN 5-06-003049-0 .
, часть 15.
Zeno of Elea // Stanford Encyclopedia of Philosophy.
, с. 50-52.
Диоген Лаэртский. Жизнь, учения и изречения знаменитых философов, глава «Пифагор» .
, с. 18-20.
, с. 21.
«Физика» Аристотеля.
, с. 29-30.
, с. 38.
Лурье С. Очерки из истории античной науки. - М.-Л.: Изд. АН СССР, 1947. - С. 181. - 403 с.
, с. 31-35.
, с. 35-41.
Гегель Г. В. Ф. Сочинения в 14 тт. - М. : Соцэкгиз, 1959. - Т. IX. - С. 244.
Таннери П. Первые шаги древнегреческой науки. - СПб. , 1902.
Papa-Grimaldi, Alba. Why Mathematical Solutions of Zeno"s Paradoxes Miss the Point: Zeno"s One and Many Relation and Parmenides" Prohibition (неопр.) . The Review of Metaphysics . Архивировано 28 августа 2011 года.
Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики. - М. , 1979. - С. 40.
Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика . - 3-е изд. - М. : МЦНМО, 2001. - С. 353. - 568 с. - ISBN 5-900916-45-6 .
, с. 93.
Цит. по: Данциг, Тобиас. Числа - язык науки. - М. : Техносфера, 2008. - С. 111. - ISBN 978-5-94836-172-7 .
Николя Бурбаки . Архитектура математики. Очерки по истории математики. - М. : Иностранная литература, 1963. - С. 38.
van Bendegem, Jean Paul. Discussion:Zeno"s Paradoxes and the Tile Argument (неопр.) // Philosophy of Science. - Belgium, 1987. - Т. 54 . - С. 295-302 .
Фейнман Р. Характер физических законов. - Изд. 2-е. - М. : Наука, 1987. - С. 152-153. - 160 с. - (Библ. Квант, выпуск 62).
Кузнецов Б. Г. Эйнштейн. Жизнь. Смерть. Бессмертие. - 5-е изд., перераб. и доп. - М. : Наука, 1980. - С. 368-374.
Клайн М. Математика. Утрата определённости . - М. : Мир, 1984. - С. 401-402.
Драгалин А. Г. Антиномия // Математический энциклопедический словарь. - М. : Советская энциклопедия, 1988. - С. 73-75. - 847 с.
Успенский В. А. Что такое нестандартный анализ . - М. : Наука, 1987.
Гайденко П. П. Понятие времени и проблема континуума (неопр.) . Дата обращения 10 января 2011. Архивировано 14 августа 2011 года.
Silagadze, Z. K. Zeno meets modern science (англ.) . Дата обращения 30 декабря 2010. Архивировано 14 августа 2011 года.
Блинников Л. В. Краткий словарь философских персоналий (неопр.) . Дата обращения 30 апреля 2010.

Ахиллес и черепаха

«В стремительном [полёте] стрелы есть момент отсутствия и движения, и остановки».
«Если от палки [длиной] в один чи ежедневно отнимать половину, это не завершится и через 10000 поколений».

Критика апорий Аристотелем

Позиция Аристотеля ясна, но не безупречна - и прежде всего потому, что ему самому не удалось ни обнаружить логические ошибки в доказательствах, ни дать удовлетворительное объяснение парадоксам… Аристотелю не удалось опровергнуть аргументы по той простой причине, что в логическом отношении доказательства Зенона составлены безукоризненно.

Атомистический подход

Эпикур Самосский

Обсуждение в Новое время

и многие другие.

Современная трактовка

Обычно этот парадокс пытаются обойти рассуждением о том, что сумма бесконечного числа этих временных интервалов всё-таки сходится и, таким образом, даёт конечный промежуток времени. Однако это рассуждение абсолютно не затрагивает один существенно парадоксальный момент, а именно парадокс, заключающийся в том, что некая бесконечная последовательность следующих друг за другом событий, последовательность, завершаемость которой мы не можем себе даже представить (не только физически, но хотя бы в принципе), на самом деле всё-таки должна завершиться .

Близкую точку зрения можно найти у Анри Бергсона :

Противоречия, на которые указывает школа элеатов, касаются не столько самого движения как такового, сколько того искусственного преобразования движения, которое совершает наш разум.

Вопрос о бесконечной делимости пространства (бесспорно, поставленный еще ранними пифагорейцами) привёл, как известно, к значительным затруднениям в философии: от Элеатов до Больцано и Кантора математики и философы не в силах были разрешить парадокса - как конечная величина может состоять из бесконечного числа точек, не имеющих размера.

Адекватность аналитической теории движения

Первый подход, которого придерживался Лейбниц, доминировал весь XVIII век . Аналогично античному атомизму, он рассматривает бесконечно малые как особый вид чисел (больше нуля, но меньше любого обычного положительного числа). Строгое обоснование этого подхода (так называемый нестандартный анализ) разработал Абрахам Робинсон в XX веке . Основой анализа по Робинсону служит расширенная числовая система (гипервещественные числа ). Конечно, робинсоновские бесконечно малые мало похожи на античные атомы хотя бы потому, что они неограниченно делимы, но они позволяют корректно рассматривать непрерывную кривую во времени и пространстве как состоящую из бесконечного количества бесконечно малых участков.
Второй подход предложил Коши в начале XIX века . Его анализ построен на обычных вещественных числах , а для анализа непрерывных зависимостей используется теория пределов . Сходного мнения на обоснование анализа придерживались Ньютон , Даламбер и Лагранж , хотя были в этом мнении не всегда последовательны.

Другие апории Зенона

Стадион

Апория «Стадион» (или «Ристалище») у Аристотеля («Физика», Z, 9) сформулирована не вполне ясно:

Четвертый [аргумент] - о равных телах, движущихся по стадиону в противоположных направлениях параллельно равных [им тел]; одни [движутся] от конца стадия, другие - от середины с равной скоростью, откуда, как он думает, следует, что половина времени равна двойному.

С. А. Яновская предлагает иное истолкование, основанное на атомистических предпосылках :

Пусть время состоит из неделимых протяженных атомов. Представим себе на противоположных концах ристалища двух бегунов, настолько быстрых, что на пробег от одного до другого конца ристалища каждому из них требуется один только атом времени. И пусть оба одновременно выбегают с противоположных концов. Когда произойдет их встреча, неделимый атом времени разделится пополам, т. е. в атомы времени тела не могут двигаться, как это и было предположено в апории <Стрела>.

Множественность

Часть апорий посвящена обсуждению вопроса о единстве и множественности мира .

Мера

Если само-по-себе-единое неделимо, то, согласно положению Зенона, оно должно быть ничем. В самом деле, если прибавление чего-то к вещи не делает ее больше и отнятие его от неё не делает её меньше, то, утверждает Зенон, это нечто не относится к существующему, явно полагая, что существующее - это величина, а раз величина, то и нечто телесное: ведь телесное есть в полной мере сущее; однако другие величины, например плоскость и линия, если их прибавлять, в одном случае увеличивают, а в другом нет; точка же и единица не делают этого никаким образом. А так как Зенон рассуждает грубо и так как нечто неделимое может существовать, и притом так, что оно будет некоторым образом ограждено от Зеноновых рассуждений (ибо если такое неделимое прибавлять, оно, правда, не увеличит, но умножит), то спрашивается, как из одного такого единого или нескольких получится величина? Предполагать это - всё равно что утверждать, что линия состоит из точек.

О месте

Медимн зерна

Историческое значение апорий Зенона

Проблемы, поставленные два с половиной тысячелетия назад и с тех пор многократно изученные, до сих пор не исчерпаны. Парадоксы Зенона затрагивают фундаментальные аспекты реальности - локализацию, движение, пространство и время. Время от времени обнаруживаются новые и неожиданные грани этих понятий, и каждое столетие находит полезным снова и снова возвращаться к Зенону. Процесс достижения их окончательного разрешения представляется бесконечным, и наше понимание окружающего мира всё ещё неполно и фрагментарно.

Апории Зенона в литературе и искусстве

В основе сюжета фантастического рассказа Ф. Дика «О неутомимой лягушке» лежит апория «Дихотомия».

См. также

Примечания

, с. 90
, часть 14
, 29. ЗЕНОН ЭЛЕЙСКИЙ
, с. 15-16
, с. 116-118
Ивин А. А. По законам логики . - М .: Молодая гвардия, 1983. - 208 с. - («Эврика»).
Большая советская энциклопедия // Апория .
, часть 16
Лосев А. Ф. Зенон Элейский // Философская энциклопедия . - М .: Советская энциклопедия, 1962. - Т. 2.
Асмус В. Ф. Элейская школа // Античная философия . - М .: Высшая школа, 2005. - 408 с. - ISBN 5-06-003049-0
, часть 15
, с. 50-52
, с. 18-20
, Яновская С. А.
, с. 21
«Физика» Аристотеля.
, с. 29-30
, с. 38
Лурье С. Очерки из истории античной науки. - М.-Л.: Изд. АН СССР, 1947. - С. 181. - 403 с.
, с. 31-35
, с. 35-41
Гегель Г. В. Ф. Сочинения в 14 тт. - М .: Соцэкгиз, 1959. - Т. IX. - С. 244.
Таннери П. Первые шаги древнегреческой науки. - СПб. , 1902.
Papa-Grimaldi, Alba. Why Mathematical Solutions of Zeno"s Paradoxes Miss the Point: Zeno"s One and Many Relation and Parmenides" Prohibition . The Review of Metaphysics (1996). Архивировано из первоисточника 28 августа 2011.
Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики. - М ., 1979. - С. 40.
Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика . - 3-е изд.. - М .: МЦНМО, 2001. - С. 353. - 568 с. - ISBN 5-900916-45-6
, с. 93
Цит. по: Данциг, Тобиас. Числа - язык науки. - М .: Техносфера, 2008. - С. 111. - ISBN 978-5-94836-172-7
Николя Бурбаки . Архитектура математики. Очерки по истории математики. - М .: Иностранная литература, 1963. - С. 38.
van Bendegem, Jean Paul (1987). «Discussion:Zeno"s Paradoxes and the Tile Argument ». Philosophy of Science 54 : 295-302. Проверено 2010-02-27.
Кузнецов Б. Г. Эйнштейн. Жизнь. Смерть. Бессмертие. - 5-е изд., перераб. и доп.. - М .: Наука, 1980. - С. 368-374.
Клайн М. Математика. Утрата определённости . - М .: Мир, 1984. - С. 401-402.
Успенский В. А. Что такое нестандартный анализ . - М .: Наука, 1987.
Гайденко П. П. Понятие времени и проблема континуума . Архивировано из первоисточника 14 августа 2011. Проверено 10 января 2011.
Silagadze, Z. K. Zeno meets modern science (англ.) . Архивировано
Блинников Л. В. Краткий словарь философских персоналий . Архивировано из первоисточника 14 августа 2011. Проверено 30 апреля 2010.
, с. 127
Zeno’s Paradoxes , Stanford Encyclopedia of Philosophy.
Зенон Элейский . - Энциклопедия Кругосвет. Архивировано из первоисточника 14 августа 2011. Проверено 30 декабря 2010.
Аристотель. Метафизика , книга I, глава IV.
Аристотель. Физика, IV, 1, 209а.
, с. 124-129
Ивин А. А. Логика. Учебное пособие, глава 7 .
, с. 122-124
, с. 27
, с. 89
ДВИЖЕНИЕ.
, с. 19
Кэрролл, Льюис. Двухчастная инвенция, или Что черепаха сказала Ахиллесу // Знание - сила . - 1991. - № 9. - С. 6-12.
Валери, Поль. Кладбище у моря.

Литература

Античные авторы

Античные философы о Зеноне . Архивировано из первоисточника 14 августа 2011. Проверено 21 декабря 2010.
Аристотель. Физика . - В сборнике: Философы Греции. Основы основ: логика, физика, этика. - Харьков: ЭКСМО, 1999. - 1056 с. - ISBN 5-04-003348-6
Платон. Парменид . - В сборнике: Платон, Сочинения в трёх томах. - М .: Мысль, 1968-1972. - (Философское наследие).
Фрагменты ранних греческих философов. Часть I. От эпических теокосмогоний до возникновения атомистики . - М .: Наука, 1989. - 576 с.

Книги современных авторов

Асмус В. Ф. История античной философии. - М .: Высшая школа, 1965. - С. 40-45.
Гайденко П. П. . - М .: Наука, 1980.
История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича , в трёх томах. - М .: Наука, 1970. - Т. I. - С. 88-93.
Комарова В. Я. Учение Зенона Элейского: попытка реконструкции системы аргументов // Вестник ЛГУ . - Л. , 1988.
Кузнецов Б. Г. Эволюция картины мира. - 1-е изд. (2-е издание: УРСС, 2010). - М .: Издательство АН СССР, 1961. - 352 с. - (Из наследия мировой философской мысли: философия науки). - ISBN 978-5-397-01479-3 .
Маковельский А. О. Досократики. В 3 томах . - Минск: Харвест, 1999. - 784 с. - (Классическая философская мысль). .
Смородинов Р. А. Философия последовательного сомнения. - Волгоград: Принт, 2006. - С. 41-68.
Grünbaum A. Modern science and Zeno"s Paradoxes. - Allen & Unwin, 1968. - 153 p. - ISBN 978-0045130047
Guénon R. Les Principes du Calcul infinitésimal. - Gallimard, 1946 и многочисленные переиздания. - «Принципы вычисления бесконечно малых»
Salmon W. C. (editor) Zeno’s paradoxes. - 2nd ed.. - Indianapolis: Hackett Publishing Co. Inc., 2001. - 320 p. - ISBN 978-0872205604

Краткая библиография научных статей с анализом апорий

Литература перечислена в хронологическом порядке.

Сватковский В. П. Парадокс Зенона о летящей стреле // Журнал Министерства народного просвещения . - 1888. - № 4 отд. 5. - С. 203-239.
Херсонский Н. Х. У истоков теории познания. По поводу аргументов Зенона против движения // . - 1911. - № XXXIV (август) отд. 2. - С. 207-221.
Больцано Б. Парадоксы безконечнаго . - Одесса, 1911.
Богомолов С. А. Аргументы Зенона Элейского при свете учения об актуальной бесконечности // Журнал Министерства народного просвещения . - 1915, нов.сер.. - № LVI (апрель). - С. 289-328.
Дмитриев Г. Еще раз о парадоксе Зенона «Ахиллес и черепаха» и путанице В.Фридмана // Под знаменем марксизма . - 1928. - № 4.
Богомолов С. А. Актуальная бесконечность: Зенон Элейский, Исаак Ньютон и Георг Кантор. - Л.-М., 1934.
Яновская С. А. Апории Зенона //

Обратимся теперь к конкретным софизмам и тем проблемам, которые стоят за ними.

Знаменитые рассуждения древнегреческого философа Зенона «Ахиллес и черепаха», «дихотомия» и др., называемые обычно «апориями» («затруднениями»), были направлены будто бы против движения и существования многих вещей. Сама идея доказать, что мир - это одна-единственная и к тому же неподвижная вещь, нам сегодня кажется странной. Да странной она считалась и древними. Настолько странной, что «доказательства», приводившиеся Зеноном, сразу же были отнесены к простым уловкам, причем лишенным в общем-то особой хитрости. Такими они и считались две с лишним тысячи лет, а иногда считаются и теперь. Посмотрите, читатель, как они формулируются, и обратите внимание на их внешнюю простоту и незамысловатость.

Самое быстрое существо не способно догнать самое медленное, быстроногий Ахиллес никогда не настигнет медлительную черепаху. Пока Ахиллес добежит до черепахи, она продвинется немного вперед. Он быстро преодолеет и это расстояние, но черепаха уйдет еще чуточку вперед. И так до бесконечности. Всякий раз, когда Ахиллес будет достигать места, где была перед этим черепаха, она будет оказываться хотя бы, немного, но впереди.

В «дихотомии» обращается внимание на то, что движущийся предмет должен дойти до половины своего пути прежде, чем он достигнет его конца. Затем он должен пройти половину оставшейся половины, затем половину этой четвертой части и т. д. до бесконечности. Предмет будет постоянно приближаться к конечной точке, но так никогда ее не достигнет.

Это рассуждение можно несколько переиначить. Чтобы пройти половнчу пути, предмет должен пройти половину этой половины, а для этого нужно пройти половину этой четверти и т. д. Предмет в итоге так и не сдвинется с места.

Этим простеньким на вид рассуждениям посвящены сотни философских и научных работ. В них десятками разных способов доказывается, что допущение возможности движения не ведет к абсурду, что наука геометрия свободна от парадоксов и что математика способна описать движение без противоречия.

Обилие опровержений доводов Зенона показательно. Не вполне ясно, в чем именно состоят эти доводы, что они доказывают. Не ясно, как это «что-то» доказывается и есть ли здесь вообще доказательства? Чувствуется только, что какие-то проблемы или затруднения все-таки есть. И прежде чем опровергать Зенона, нужно выяснить, что именно он намеревался сказать и как он обосновывал свои тезисы. Сам он не формулировал прямо ни проблем, ни своих решений этих проблем. Есть, в частности, только коротенький рассказ, как Ахиллес безуспешно пытается догнать черепаху.

Извлекаемая из этого описания мораль зависит, естественно, от того более широкого фона, на котором оно рассматривается и меняется с изменением этого фона.

Рассуждения Зенона сейчас, надо думать, окончательно выведены из разряда хитроумных уловок. Они, по словам Б. Рассела, «в той или иной форме затрагивают основания почти всех теорий пространства, времени и бесконечности, предлагавшихся с его времени до наших дней».

Общность этих рассуждений е другими софизмами древних несомненна. И те и другие имеют форму краткого рассказа или описания простой в своей основе ситуации, за которой не стоит как будто никаких особых проблем. Однако описание преподносит обыденное явление так, что оно оказывается явно несовместимым с устоявшимися представлениями о нем. Между этими обычными представлениями о явлении и описанием его в апории или софизме возникает резкое расхождение, даже противоречие. Как только оно замечается, рассказ теряет видимость простой и безобидной констатации. За ним открывается неожиданная и неясная глубина, в которой смутно угадывается какой-то вопрос или даже многие вопросы. Трудно сказать с определенностью, в чем именно состоят эти вопросы, их еще предстоит уяснить и сформулировать, но очевидно, что они есть. Их надо извлечь из рассказа подобно тому, как извлекается мораль из житейской притчи. И как в случае притчи, результаты размышления над рассказом важным образом зависят не только от него самого, но и от того контекста, в котором этот рассказ рассматривается. В силу этого вопросы оказываются не столько поставленными, сколько навеянными рассказом. Они меняются от человека к человеку и от времени ко времени. И нет полной уверенности в том, что очередная пара «вопрос - ответ» исчерпала все содержание рассказа.

«МЕДИМН ЗЕРНА»

Зенон предложил еще один софизм - «медимн зерна» (примерно мешок зерна), послуживший прототипом для знаменитых софизмов Евбулида «куча» и «лысый».

Большая масса мелких, просяных например, зерен при падении на землю всегда производит шум. Он складывается из шума отдельных зерен, и, значит, каждое зерно и каждая малейшая часть зерна должны, падая, производить шум. Однако отдельное зерно падает на землю совершенно бесшумно. Значит, и падающий на землю медимн зерна не должен был бы производить шум, ведь он состоит из множества зерен, каждое из которых падает бесшумно. Но все-таки медимн зерна падает с шумом!

В прошлом веке начала складываться экспериментальная психология. «Медимн зерна» стал истолковываться - в духе времени - как первое неясное указание на существование только что открытых порогов восприятия. Это истолкование многим кажется убедительным и сегодня.

Человек слышит не все звуки, а только достигающие определенной силы. Падение отдельного зерна производит шум, но он настолько слаб, что лежит за пределами человеческого слуха. Падение же многих зерен дает шум, улавливаемый человеком. «Если бы Зенон был знаком с теорией звука, - писал тогда немецкий философ Т. Брентано, - он не измыслил бы, конечно, своего аргумента».

Как-то при таком объяснении совершенно не замечалось одно простое, но меняющее все дело обстоятельство: софизм «медимн зерна» строго аналогичен софизмам «куча» и «лысый». Но последние не имеют никакого отношения ни к теории звука, ни к психологии слуха.

Значит, для них нужны какие-то другие и притом разные объяснения.

Это кажется явно непоследовательным. Однотипные софизмы должны решаться одинаково. Кроме того, раз уловлен принцип построения подобных софизмов, их можно формулировать сколько заблагорассудится. Было бы наивно, однако, для каждого из них искать какое-то свое решение.

Гораздо более глубоким является их анализ, данный Г. Гегелем. Вопросы: «Создает ли прибавление одного зерна кучу?», «Становится ли хвост лошади голым, если вырвать из него один волос?» -кажутся наивными. Нов них находит свое выражение попытка древних греков представить наглядно противоречивость всякого изменения.

Постепенное, незаметное, чисто количественное изменение какого-то объекта не может продолжаться бесконечно. В определенный момент оно достигает своего предела, происходит резкое качественное изменение и объект переходит в другое качество. Например, при температуре от 0° до 100°С вода представляет собой жидкость. Постепенное нагревание ее заканчивается тем, что при 100°С она закипает и резко, скачком переходит в другое качественное состояние - превращается в пар. «Когда происходит количественное изменение, - пишет Г. Гегель, - оно кажется сначала совершенно невинным, но за этим изменением скрывается еще и нечто другое, и это кажущееся невинным изменение количественного представляет собой как бы хитрость, посредством которой уловляется качественное».

Софизмы типа «медимн зерна», «куча», «лысый» являются также наглядным примером тех трудностей, к которым ведет употребление неточных или «размытых» понятий. Но об этом уже говорилось в третьей главе.

АПОРИИ ЗЕНОНА: НОВЫЙ ВЗГЛЯД

AS: после окончания решения апорий приведены их цитаты в русском переводе из первоисточника («Физика» Аристотеля).

Жизнь требует движения

Аристотель

(«Афоризмы, цитаты,
высказывания великих людей»,
http://www.wisdoms.ru/36.html)

«Ахиллес и черепаха, Дихотомия

Самое быстрое существо не способно догнать самое медленное, быстроногий Ахиллес никогда не настигнет медлительную черепаху. Пока Ахиллес добежит до черепахи, она продвинется немного вперёд. Он быстро преодолеет и это расстояние, но черепаха уйдёт ещё чуточку вперёд.
И так до бесконечности. Всякий раз, когда Ахиллес будет достигать места, где была перед этим черепаха, она будет оказываться хотя бы немного, но впереди.

В «Дихотомии» обращается внимание на то, что движущийся предмет должен дойти до половины своего пути прежде, чем он достигнет его конца. Затем он должен пройти половину оставшейся половины, затем половину этой четвёртой части и т.д. до бесконечности. Предмет будет постоянно приближаться к конечной точке, но так никогда её не достигнет.
Это рассуждение можно несколько переиначить. Чтобы пройти половину пути, предмет должен пройти половину этой половины, а для этого нужно пройти половину этой четверти и т.д. Предмет в итоге так и не сдвинется с места.» Конец цитаты (Ивин А.А. Логика. – 1998, глава 7 «Софизмы», параграф 2 «Апории Зенона», http://culture.niv.ru/doc/logic/ivin/027.htm).

«Дихотомия («разделение надвое» – моё пояснение)

Чтобы преодолеть путь, нужно сначала преодолеть половину пути, а чтобы преодолеть половину пути, нужно сначала преодолеть половину половины, и так до бесконечности. Эта апория основана на бесконечной делимости пространства и предположении, что для совершения бесконечного количества действий необходимо бесконечное время.

Из-за того, что парадокс сформулирован словесно, а потому допускает различные толкования, имеются разные объяснения, но математическое объяснение гласит: «Так как меньшие отрезки проходятся за меньшее время, то общее время равно сумме сходящегося ряда 1/2+1/4+1/8+…, то есть единице»

Ахиллес и черепаха

Быстроногий Ахиллес никогда не догонит черепаху, если в начале движения черепаха находилась впереди на некотором расстоянии от него.

Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится от неё на расстоянии в 1 километр. За то время, за которое Ахиллес пробежит этот километр, черепаха отползёт на 100 метров. Когда Ахиллес пробежит 100 метров, черепаха проползёт ещё на 10 метров, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

Стрела

Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она занимает равное себе положение, то есть покоится; поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится во все моменты времени, то есть, покоится всегда.
Эта апория направлена против представления о непрерывной величине как о сумме бесконечного числа неделимых частиц.
Современные представления рассматривают стрелу в пространстве с введёнными скоростными размерностями и тем самым решают софизм. В таком пространстве движущийся объект не идентичен неподвижному. Впрочем, с точки зрения современной науки, в этой апории есть доля правды». Конец цитаты («Википедия», http://ru.wikipedia.org/wiki, статьи – одноимённые апории).

«Стадион или Стадий

(от греч. stadion) – древнегреческая мера длины от 150 до 190 м.

Если два тела движутся друг к другу с одинаковой скоростью, то они встретятся на половине пути через определённый промежуток времени; если же одно из них будет двигаться с той же скоростью, а другое покоиться, то они встретятся через промежуток времени, вдвое больший. Одно время может быть равно двойному времени. Следовательно, движение, т.е. приближение одного тела к другому, будет разным по времени в зависимости от точки зрения на него, т.е. само по себе оно вовсе не есть движение » (Миргородский А. И./Апории Зенона и квантовой
Другая формулировка:

«Пусть есть три группы предметов, одинаковых по количеству (N штук). Один ряд "A" стоит на месте. Второй ряд "B" марширует мимо него слева направо, а третий ряд "C" марширует мимо первого ряда справа налево. Пусть ряд "B" минует за один кадр одного из ряда "A", так что ему требуется N кадров. Также ряду "C" надо N кадров, чтобы пройти мимо ряда "B". Но второй и третий ряды маршируют навстречу друг другу, так что должны миновать друг друга за время, вдвое меньшее – N/2 кадров.» («Апории Зенона», Мирослав Войнаровский. Психологика. – 2002, http://psi-logic.narod.ru/psi/zenon.htm).

О решениях апорий

«Этим простеньким на вид рассуждениям посвящены сотни философских и научных работ. В них десятками разных способов доказывается, что допущение возможности движения не ведёт к абсурду, что наука геометрия свободна от парадоксов и что математика способна описать движение без противоречия.

Обилие опровержений доводов Зенона показательно. Не вполне ясно, в чём именно состоят эти доводы, что они доказывают. Не ясно, как это «что-то» доказывается и есть ли здесь вообще доказательство? Чувствуется только, что какие-то проблемы или затруднения всё-таки есть. И прежде чем опровергать Зенона, нужно выяснить, что именно он намеревался сказать и как он обосновывал свои тезисы. Сам он не формулировал прямо ни проблем, ни своих решений этих проблем. Есть, в частности, только коротенький рассказ, как Ахиллес безуспешно пытается догнать черепаху.

…открывается неожиданная и неясная глубина, в которой смутно угадывается какой-то вопрос или даже многие вопросы. Трудно сказать с определённостью, в чём именно состоят эти вопросы, их ещё предстоит уяснить и сформулировать, но очевидно, что они есть». Конец цитаты (Ивин А.А. Логика. – 1998, глава 7 «Софизмы», параграф 2 «Апории Зенона», http://culture.niv.ru/doc/logic/ivin/027.htm).

«Этот парадокс возникает в результате того, что Зенон в своих рассуждениях нарушает 4-ый закон формальной логики: закон достаточного основания, который гласит, что все рассуждения должны строиться на истинном основании, относительно которого понятия и суждения определены однозначно. В физике всякое прямолинейное движение тела описывается законом, который выражается в форме S = vt, путь, пройденный телом, равен его скорости помноженной на время, которое оно затрачивает на его прохождение. Используя эту форму, мы в любое время можем определить положение движущегося тела относительно начальной точки. Зенон же в своих рассуждениях пытается определить положение движущегося тела, основываясь на прохождении телом отдельных участков пути безотносительно к его скорости и времени его движения, что является явным нарушением закона прямолинейного движения, которое и приводит его к неправильному умозаключению.

Для более доступного понимания я приведу другой пример, основанный на той же ошибке, но которая является очевидной. Подсчитать рост 50 летнего человека, если предположить, что в среднем человек за год вырастает на 10 см. Согласно логике рост этого человека будет 50 лет х 10 см = 5 метров, но в реальности рост этого человека будет 170-180 см. В чём ошибка нашей логики? Ошибка нашей логики состоит в том, что наши расчеты построены на ложном достаточном основании, которое исходит из того, что человек растёт всю жизнь, хотя в реальности человек растёт до 18-20 лет согласно закону его биологического развития». Конец цитаты (Илья Ставинский/ Тайна логических парадоксов разрешена от 12/02/2007,

«2. Ахиллес догнал черепаху

…Совсем нетрудно принять, что при суммировании бесконечного количества слагаемых может получиться конечное число, если величина слагаемых быстро убывает: 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = 1. Поэтому бесконечная последовательность действий может быть выполнена за короткое время, если длительность каждого последующего действия быстро убывает, и Ахиллес, конечно, быстро догонит черепаху, потому что при постоянной скорости его движения члены ряда 1/2, 1/4, 1/8, 1/16,... представляют не только отрезки пути, но и отрезки времени.

Зенон, конечно, понимал, что если стрела летит из пункта A в пункт B со скоростью v, а расстояние между A и B равно S, то время полета будет t = S/v. Надеемся, Зенон понимал, что если отрезок S разделить пополам, а потом половину ещё пополам и т.д., то от этого длина отрезка S не увеличится. Но, видимо, абстрактное мышление в Древней Греции не было развито достаточно для того, чтобы перенести это рассуждение на отрезок времени, t. Зенон считал, что если отрезок t разделить пополам, а потом половину ещё пополам и т.д., то от этого деления длина отрезка t увеличится до бесконечности.

Как ни удивительно, но для «разрешения» парадоксов Зенона привлекают квантовую механику. Авторы работы , как и автор работы , считают рассуждение Зенона верным, а выход из парадоксов видят в следующем обстоятельстве. Замораживание всех процессов, которое должно было бы произойти, согласно рассуждениям Зенона, не происходит в силу того, что бесконечная делимость времени, используемая Зеноном, невозможна из-за квантовомеханического соотношения неопределенностей энергии и времени, E t > h, поскольку уменьшение времени на измерение местоположения объекта, требует увеличения затрачиваемой на него энергии.

В качестве примера здравых оценок парадоксов Зенона приведём высказывание известного французского математика Поля Леви (P. L"evy). В 1959 году он писал: «Как можно воображать себе, что время остановится из-за того, что некий философ занимается перечислением членов бесконечного ряда. Признаюсь, я никогда не понимал, как люди, в других отношениях весьма разумные, могут оказаться смущёнными подобными парадоксами. Мой теперешний ответ есть тот самый, который я дал, когда мне было 11 лет, старшему, рассказавшему мне этот парадокс. Я резюмировал тогда такой немногословной формулой: «Этот грек был идиотом». Я знаю теперь, что нужно выражать свои мысли в более вежливой форме и что, возможно, Зенон излагал свои парадоксы только для того, чтобы проверить разумность своих учеников. Но моё удивление перед умами, смущаемыми сходящимся рядом, осталось тем же.»

Заметим, что Гегель высоко отзывался о Зеноне: "Особенность Зенона – диалектика... Он – зачинатель диалектики... У Зенона мы находим истинно объективную диалектику"». Конец цитаты (Р.И.Храпко/ Логические парадоксы в физике и математике// эл. журнал «Труды МАИ» №3 16.0.2.2001, часть 2 «Ахиллес догнал черепаху»,

«…Д. Гильберт и П. Бернайс: "Обычно этот парадокс пытаются обойти рассуждением о том, что сумма бесконечного числа этих временных интервалов всё-таки сходится и, таким образом, даёт конечный промежуток времени. Однако это рассуждение абсолютно не затрагивает один существенно парадоксальный момент, а именно парадокс, заключающийся в том, что некая бесконечная последовательность следующих друг за другом событий, последовательность, завершаемость которой мы не можем себе даже представить (не только физически, но хотя бы в принципе), на самом деле всё-таки должна завершиться".» (Реферат по математической логике «Логические парадоксы», http://works.tarefer.ru/46/100041/index.html).

РЕШЕНИЕ

Александр Архипович Ивин абсолютно прав, сказав об обилии многочисленных предложенных решений апорий, опровержений доводов Зенона. Ведь, с одной стороны, их количество действительно поражает. Потому что, с другой стороны, доводы Зенона довольно просты для понимания. Но тем не менее одни предложенные опровержения могут быть не такими однозначными и понятными, как тезисы Зенона, а другие вовсе с ними не соглашаться и приводить собственные основания для доказательства неправоты Зенона. Видимо, потому что авторы опровержений не вполне осознают суть доводов Зенона. Поэтому далее Ивин и пишет: «Не вполне ясно, в чём именно состоят эти доводы, что они доказывают. Не ясно, как это «что-то» доказывается и есть ли здесь вообще доказательство?». Я добавлю, что авторы многочисленных решений апорий не столько не осознают суть тезисов, сколько не понимают причины и цели появления апорий. Поэтому Александр Архипович абсолютно прав и в следующих фразах: «И прежде чем опровергать Зенона, нужно выяснить, что именно он намеревался сказать и как он обосновывал свои тезисы…Трудно сказать с определённостью, в чём именно состоят эти вопросы, их ещё предстоит уяснить и сформулировать…»

Апорий Зенона было больше: «Современники упоминали 40 апорий Зенона, до нас дошли 9, из них наиболее известны 4, обсуждаемые у Аристотеля» («Википедия», http://ru.wikipedia.org/wiki, Зенон Элейский). Многочисленные попытки решения этих четырёх самых известных апорий – против движения – в принципе, сводятся к одному типу. Для решения этих «затруднений» привлекаются все имеющиеся физические или другие теории, объясняющие природу пространства, материи, а значит, движения как физического процесса. Понятно, например, приведённое в цитате выше удивление «доцента кафедры физики Московского государственного авиационного института (технического университета) Р. И. Храпко», «Как ни удивительно, но для "разрешения" парадоксов Зенона привлекают квантовую механику». Я с этим недоумением полностью согласен. Но тем более удивительно, что тот же Храпко далее с очевидной интонацией соглашается с известным математиком П. Леви, назвавшим Зенона «идиотом», услышав его апории впервые в 11 лет, и затем не изменившим своё мнение в дальнейшем. С такой же категоричной прямотой и бестактностью я мог бы назвать самого Леви идиотом, но не буду подражать примерам неуважительного отношения к другим. Потому что он, как и все остальные не понимают очевидных для меня вещей: эти четыре апории Зенона против движения, как впрочем, видимо, и другие, отражают не глупость Зенона и других древнегреческих философов, а, во-первых, взгляды на мир их философской школы, и, во-вторых, проблемы нашего понимания собственного мышления.

Все эти «затруднения» хотя и касаются глубинного понимания нами физических явлений мироздания, а именно категорий «пространства» и «времени», но содержат в себе абсолютно другие проблемы. Это проблемы понимания механизмов нашего мышления, а не проблемы понимания физических процессов на конкретном этапе развития науки. Поэтому они и кажутся простыми и даже глупыми многим. И поэтому их решения лежат в области логики, а не в области физики, или математики, или других.

«ДИХОТОМИЯ» и «АХИЛЛЕС И ЧЕРЕПАХА»

Апории Зенона основаны на логических ошибках: «неточность определений», что приводит к неверным «точке опоры выводов» и «исходной посылке» («Логические парадоксы. Пути решения», главы «Ошибки понимания парадоксов – неточность определений», «Ошибки понимания парадоксов – точка опоры выводов», «Ошибки рассуждения в парадоксах – исходная посылка», ).

Вывод о бесконечности деления пространства, пути, следует из неточного определения «половина чего-либо», основанного на тоже неточном понятии «единица измерения длины». Ведь «половина» – это относительное понятие, которое не имеет под собой однозначного смысла, потому что выражает отношение длины расстояния между конечными пунктами ЛЮБОГО пути к своему срединному пункту. Но «расстояние», «длина» могут быть абсолютно любыми, поэтому «половина» может быть тоже абсолютно любой в математическом выражении. Исходя из этого, для измерения расстояний используется понятие «длины пути (расстояния)», которое вносит ясность и однозначность в сравнение разных расстояний. А оно, в свою очередь, использует за основу понятие «единица измерения». Это фундаментальное, системообразующее понятие не определяется как «любая единица измерения», что привносило бы не однозначность, а наоборот многозначность в его понимание, а только определённый «тип единиц измерения расстояний», включающий в себя, например, «километр», «метр», «дециметр», «сантиметр», «миллиметр» или «верста», «аршин», «локоть», «ладонь», «перст» или другие. Поэтому всегда существует определённый ПРЕДЕЛ в измерении расстояний, отражающий нижний уровень применяемой нами единицы измерения. Из чего следует простой вывод, что в измерении расстояний не может применяться бесконечное измерение расстояний, отражающее бесконечный переход к более мелким «типам единиц измерения», например, переход от метрической системы к микрометрической и далее к определению молекулярных, атомарных и субатомарных расстояний в структуре материи. Другими словами, рассуждение в апории заключает ошибку «подмена основания выводов», основанную на указанных выше ошибках «неточного определения». Это приводит к отсутствию единой «точки опоры выводов», заключающимся в подмене понятия «единица измерения длины пути макромира» на понятие «единица измерения межатомного пространства микромира», то есть переход от геометрии и географии к физике и квантовой механике. Поэтому для разрешения этого и других «затруднений» нужно всего лишь держаться в русле логики, не ныряя в физику или математику, ведь это абсолютно не требуется и только мешает нормальному рассуждению.

Отсюда следует, что деление «длины любого пути» пополам (дихотомия) или же на другие части никаким образом не удлиняет сам путь, его «длину» и, уж тем более, не удлиняет его до бесконечности. Потому что такое деление составляет не бесконечный ряд суммы частей длины пути, который представляют в виде сумм сходящегося ряда 1/2+1/4+1/8+1/N = 1, а конечный ряд, в котором N не равно бесконечности. Этот вывод следует на основании того, что существует нижняя граница деления наибольшей применяемой «единицы измерения длины пути». Например, для «километра» такой границей будет «метр» или даже «миллиметр», для «астрономической единицы» – «километр», «для парсека» – «астрономическая единица» и т.д. Ниже этой границы, используемой в конкретной ситуации, измерение пути, во-первых, бессмысленно относительно валидности – мысленного представления, уяснения протяжённости или сравнения интересующего нас расстояния, – а во-вторых, ошибочно с точки зрения самого процесса измерения «длины». Ведь для измерения применяется геометрия и арифметика, а не физика и квантовая механика, что соответствует рассмотрению нашего уровня мироздания – макромира, – а не рассмотрению микромира.

Ошибочная подмена процесса «измерения длины пути» на процесс «измерения структуры материи» составляет логическую ошибку «применение ложной исходной посылки». Она состоит в том, что искажается понятие «длина пути», принятое изначально как «отражение соотношения пространственного расположения объектов», на понятие «структура материи», точнее на «расстояние между микрочастицами материи» как «отражение пространственного расположения микрочастиц материи».

Значит, рассуждения в «Дихотомии» и в «Ахиллес и черепаха», основаны, по сути, ни на чём, так как основанием рассуждения является пустое, неопределённое понятие «половины» на основании неопределённого понятия «единица измерения». Тем самым, решением апорий является однозначное понимание «единица измерения длины пути» как конечной единицы исчисления длины пути. Из чего следует: «половина пути», а значит, и всё «расстояние», «вся длина» или «ВЕСЬ ПУТЬ», СОСТОИТ НЕ ИЗ БЕСКОНЕЧНОГО КОЛИЧЕСТВА «ПОЛОВИН ПОЛОВИН», А ИЗ КОНЕЧНОГО КОЛИЧЕСТВА «половин половин».

В «Ахиллесе» добавлено ещё одно неточное определение – (черепаха продвинется) «немного вперёд», которое составляет заведомо меньшее количество конечных отрезков длины пути, чем пробегает Ахиллес, за такой же конечный отрезок времени.

Таким образом, однозначное понимание «единицы измерения длины пути» как конечной единицы измерения означает:

1) для «Дихотомии» – конечное расстояние и конечность процесса его измерения или прохождения;

2) для «Ахиллеса и черепахи» – конечное время, за которое он обгонит черепаху, проползающую заведомо меньший конечный отрезок длины пути, чем пробегает Ахиллес.

«СТРЕЛА»

В этом «затруднении» вывод об отсутствии движения как такового на основании того, что оно состоит из множества «состояний покоя» в каждый конкретный момент времени, ложен, так как основан на ошибке «неточность определения», что приводит к отсутствию единой «точки опоры выводов».

В процессе рассуждения понятие «движение» как перемещение в пространстве относительно какой-либо ОДНОЙ точки отсчёта (системы координат) подменяется на определение движения как перемещение в пространстве относительно МНОГИХ точек отсчёта. Эти самым устраняется единая «точка опоры выводов», на основе которой следует рассуждать для получения истинного логического вывода. Она заменяется многими «точками опоры выводов», исходя из рассмотрения «движения» как положение в пространстве относительно множества точек отсчёта на векторе направления.

Таким образом, точное определение «движения» как перемещение относительно единственной точки отсчёта приводит к истинному выводу – при движении стрела (любой объект) не покоится, а перемещается в пространстве.

«СТАДИОН»

В этом «затруднении» рассматривается движение объектов относительно друг друга и относительно третьего объекта или, другими словами, относительно одного и того же расстояния. На основании того, что объекты могут пройти одно и то же расстояние за разное время (встретиться при движении на пути друг другу), делается вывод об относительности времени (так как расстояние принимается неизменным), его изменчивости, а значит, изменчивости и самого движения, то есть об отсутствии неизменного движения как такового.

Этот вывод также ложен, как и предыдущие, потому что основан на тех же ошибках. Понятие «время прохождения объектом пути (или отрезка пути)» в рассуждении подменяется на ошибочное.

Сначала «время прохождения пути объектом» понимается как промежуток времени движения объекта по пути следования с начальной точки отсчёта движения (или момента времени начала движения) до конечной точки отсчёта движения. Начальной и конечной точками не обязательно могут быть начальная и конечная точки расстояния, а например, четверть и середина, треть и 2/3 и т.д., что выделяет интересующий нас в данный момент отрезок пути. Но затем, когда рассматривается движение двух объектов (множества, системы, цепочки объектов) относительно третьего и друг друга, что равносильно рассмотрению их движения вдоль одного пути, то происходит искажение, подмена понятий.

При понимании «движения» как приближения объектов друг к другу происходит подмена понятия «время прохождения пути (расстояния) между двумя объектами» на понятие «время прохождения ОТРЕЗКА ПУТИ ДО МОМЕНТА ВСТРЕЧИ ОБЪЕКТОВ на пути следования друг к другу». Потому что когда покоится один объект, а другой движется к нему, то движущийся объект проходит путь некоторой длины. Но когда оба объекта движутся друг к другу, то каждый из них проходит лишь ЧАСТЬ ТОГО ПУТИ, пройденного движущимся объектом в первый раз (или обоими объектами, если считать что сумма длин их путей включает и нулевую длину пути покоящегося объекта). На основании этой ошибки делается вывод о том, что первая длина пути равна второй, а одно время движения равно другому, вдвое меньшему. Но на самом деле это не так. Часть пути не равна всему пути. Отрицание этого и является ошибкой.

Поэтому, однозначное понимание «длины пути» устраняет и эту ошибку, приводя к однозначному пониманию «времени пути», которые в обоих случаях не равны.

В заключение можно указать, что только однозначная дефиниция даёт возможность однозначного рассуждения и приводит к однозначному выводу, и не только в апориях. И для этого не нужно привлечения каких-либо физических или математических методов, достаточно самой логики для приведения в порядок логических умозаключений.

«Как известно, Зенон сформулировал четыре апории против движения…обратимся к «Физике» Аристотеля (Aristoteles. Physica. Z, 9).

Дихотомия

«Есть четыре аргумента Зенона о движении, которые доставляют трудности тем, кто пытается их разрешить. Первый – о невозможности движения, так как перемещающееся [тело] прежде должно дойти до половины, нежели до конца» (239b, 9-13).

«Второй [аргумент] – так называемый «Ахиллес». Он гласит, что медленного [бегуна] никогда не догонит быстрый [бегун], ибо необходимо, чтобы догоняющий прежде достиг [той точки], откуда стартовал убегающий, поэтому более медленный [бегун] по необходимости всегда должен быть чуть впереди» (239b, 14-18).

Третий [аргумент], упомянутый ныне, [гласит], что летящая стрела неподвижна. [Этот вывод] вытекает из предположения, что время слагается из [отдельных] «теперь» (239b, 30-32)

«Четвёртый [аргумент] – о равных телах, движущихся по стадию в противоположных направлениях параллельно равных [им тел]; одни [движутся] от конца стадия, другие – от середины с равной скоростью, откуда, как он думает, следует, что половина времени равна двойному» (239b, 33-36)». Конец цитаты (Руслан Хазарзар/Апории Занона, http://warrax.net/88/zenon.html).

Фото - http://mjah.livejournal.com/104617.html

Парадоксы апории были выдвинуты в древней греции. Апории зенона и проблема движения. Другие апории Зенона

Ахиллес и черепаха

Критика апорий Аристотелем

Атомистический подход

Обсуждение в Новое время

Современная трактовка

Адекватность аналитической теории движения

Другие апории Зенона

Стадион

Множественность

Мера

О месте

Медимн зерна

Историческое значение апорий Зенона

Апории Зенона в литературе и искусстве

См. также

Примечания

Литература

Античные авторы

Книги современных авторов

Краткая библиография научных статей с анализом апорий

Философия элеатов

Критика апорий Аристотелем

Атомистический подход

Обсуждение в Новое время

Современная трактовка

Адекватность аналитической теории движения

Другие апории Зенона

Стадион

Множественность

Мера

О месте

Медимн зерна

Историческое значение апорий Зенона

Апории Зенона в литературе и искусстве

См. также

Примечания

Ахиллес и черепаха

Критика апорий Аристотелем

Атомистический подход

Обсуждение в Новое время

Современная трактовка

Адекватность аналитической теории движения

Другие апории Зенона

Стадион

Множественность

Мера

О месте

Медимн зерна

Историческое значение апорий Зенона

Апории Зенона в литературе и искусстве

См. также

Примечания

Литература

Античные авторы

Книги современных авторов

Краткая библиография научных статей с анализом апорий

Популярные статьи

Последние статьи

Разделы

Страницы

Спецпроекты

Контакты