Когерентные волны. Когерентные световые волны. Интерференция волн. Интерференция световых волн. Когерентность волн

КОГЕРЕНТНОСТЬ (от лат. cohaerentio – связь, сцепление) – согласованное протекание в пространстве и во времени нескольких колебательных или волновых процессов, при котором разность их фаз остается постоянной. Это означает, что волны (звук , свет , волны на поверхности воды и пр.) распространяются синхронно, отставая одна от другой на вполне определенную величину. При сложении когерентных колебаний возникает интерференция ; амплитуду суммарных колебаний определяет разность фаз.

Гармонические колебания описывает выражение

A (t ) = A 0 cos(w t + j ),

где A 0 – начальная амплитуда колебания, A (t ) – амплитуда в момент времени t , w – частота колебания, j – его фаза.

Колебания когерентны, если их фазы j 1, j 2 ... меняются беспорядочно, но их разность Dj = j 1 – j 2 ... остается постоянной. Если же разность фаз меняется, колебания остаются когерентными, пока она по величине не станет сравнима с p .

Распространяясь от источника колебаний, волна через какое-то время t может «забыть» первоначальное значение своей фазы и стать некогерентной самой себе. Изменение фазы обычно происходит постепенно, и время t 0, в течение которого величина Dj остается меньше p , называется временнóй когерентностью. Ее величина непосредственно связана с надежностью источника колебаний: чем стабильнее он работает, тем больше временнáя когерентность колебания.

За время t 0 волна, двигаясь со скоростью с , проходит расстояние l = t 0c , которое называется длиной когерентности,или длинойцуга, то есть отрезка волны, имеющего неизменную фазу. В реальной плоской волне фаза колебаний меняется не только вдоль направления распространения волны, но и в плоскости, перпендикулярной ему. В этом случае говорят о пространственной когерентности волны.

Первое определение когерентности дал Томас Юнг в 1801 при описании законов интерференции света, проходящего через две щели: «интерферируют две части одного и того же света». Суть этого определения состоит в следующем.

Обычные источники оптического излучения состоят из множества атомов, ионов или молекул, самопроизвольно испускающих фотоны. Каждый акт испускания длится 10 –5 – 10 –8 секунды; следуют они беспорядочно и со случайно распределенными фазами как в пространстве, так и во времени. Такое излучение некогерентно, на освещенном им экране наблюдается усредненная сумма всех колебаний, а картина интерференции отсутствует. Поэтому для получения интерференции от обычного источника света его луч раздваивают при помощи пары щелей, бипризмы или зеркал, поставленных под небольшим углом одно к другому, а затем сводят вместе обе части. Фактически здесь речь идет о согласованности, когерентности двух лучей одного акта излучения, происходящего случайным образом.

Когерентность лазерного излучения имеет другую природу. Атомы (ионы, молекулы) активного вещества лазера испускают вынужденное излучение, вызванное пролетом постороннего фотона, «в такт», с одинаковыми фазами, равными фазе первичного, вынуждающего излучения (см . ЛАЗЕР).

В наиболее широкой трактовке под когерентностью сегодня понимают совместное протекание двух или нескольких случайных процессов в квантовой механике, акустике, радиофизике и пр.

Сергей Транковсий

Определение 1

Когерентность волн является необходимым условием наблюдения интерференции волн. Когерентность определяют как согласованность протекания во времени и пространстве нескольких колебаний или волновых процессов. Иногда используют понятие степени когерентности волн (степени согласованности). Когерентность подразделяют на временную и пространственную .

Временная когерентность

Этот тип когерентности характеризуют временем и длинной когерентности. Временную когерентность рассматривают тогда, когда точечный, но немонохромный. Так, например, полосы интерференции в интерферометре Майкельсона размываются с увеличением оптической разности хода волн вплоть до исчезновения. Причина этого связана с конечным временем и длиной когерентности источника света.

При рассмотрении вопроса о когерентности возможны два подхода: «фазовый» и «частотный» . Пусть частоты в формулах, которые описывают колебания в одной точке пространства, возбуждаемые двумя накладывающийся волнами:

равны между собой (${\omega }_1={\omega }_2$) и постоянны. Это фазовый подход. Интенсивность света в исследуемой точке пространства при этом определит выражение:

где $\delta \left(t\right)=\alpha_2\left(t\right)-\alpha_1\left(t\right).\ $Выражение $2\sqrt{I_1I_2}cos\delta \left(t\right)$ называют интерференционным членом . Любой прибор, который регистрирует интерференционную картину, имеет время инерции. Обозначим это время срабатывания прибора через $t_i$. Если за время $t_i$ $cos\delta \left(t\right)$ принимает значения равные от $-1$ до $+1$, то $\left\langle 2\sqrt{I_1I_2}cos\delta \left(t\right)\right\rangle =0$. При этом суммарная интенсивность в исследуемой точке будет равна:

при этом волны следует считать некогерентными. В том случае, если за время $t_i$ величина $cos\delta \left(t\right)$ почти не изменяется, то интерференцию можно обнаружить и волны следует считать когерентными. Это значит, что понятие когерентности относительно. Если инерционность прибора мала, то он может обнаружить интерференцию, тогда как прибор с большим временем инерции при тех же условиях интерференционную картину «не увидит».

Время когерентности ($t{kog}$) определяется как время, в течение которого случайное изменение фазы волны ($\alpha (t)$) примерно равно $\pi .$ За это время ($t{kog}$) колебание становится некогерентным себе. Если выполняется условие:

то прибор интерференции не фиксирует. При $t_i\ll t_{kog}$ интерференционная картина является четкой.

Расстояние, определяемое как:

называют длиной когерентности (длиной цуга ). Длиной когерентности называют такое расстояние, при перемещении по которому случайное изменение фазы примерно равно $\pi .$ При делении естественной световой волны на две части, с целью получения интерференционной картины требуется, чтобы оптическая разность хода ($\triangle $) была меньше, чем $l_{kog}.$

Время когерентности связано с интервалом частот ($\triangle \nu $) или длинами волн, которые представлены в волне света:

Соответственно:

В том случае, если разность оптического хода волн достигла значений около${\ l}_{kog},$ интерференционные полосы не различаются. Предельный порядок интерференции ($m_{pred}$) определим как:

Временная когерентность связывается с разбросом величин модуля волнового числа ($\overrightarrow{k}$).

Пространственная когерентность

В том случае, если источник света характеризуется как монохроматический, но протяженный, то говорят о пространственной когерентности. Пространственная когерентность характеризуется шириной, радиусом и углом когерентности.

Этот тип когерентности связан с вариативностью направлений $\overrightarrow{k}$. Направления вектора $\overrightarrow{k}$ характеризуют с помощью единичного вектора $\overrightarrow{e_k}$.

Расстояние ${\rho }_{kog}$ называют длинной пространственной когерентности (радиусом когерентности), его можно определить как:

где $\varphi $ -- угловой размер источника световых волн.

Замечание

Пространственная когерентность волны света около нагретого тела излучения всего несколько длин волн. С увеличением расстояния от источника света степень пространственной когерентности увеличивается.

Формула, с помощью которой устанавливаются угловые размеры протяженного источника, при которых интерференция возможна, имеет вид:

не являются когерентными.

Пример 1

Задание: Каков радиус когерентности световых волн, которые приходят от Солнца, если считать, что угловой размер данного источника равен $0,01 рад$. Длина волн света около $500 нм$.

Решение:

Для оценки радиуса когерентности применим формулу:

\[{\rho }_{kog}\sim \frac{\lambda }{\varphi }\left(1.1\right).\]

Проведем вычисления:

\[{\rho }_{kog}\sim \frac{500\cdot {10}^{-9}}{0,01}=5\cdot {10}^{-5}\left(м\right).\]

При данном радиусе когерентности невозможно наблюдать интерференцию солнечных лучей без специальных ухищрений. Это не позволяет сделать разрешающая способность глаза человека.

Ответ: ${\rho }_{kog}\sim 50\ мкм$.

Пример 2

Задание: Объясните, почему некогерентны волны, которые испускаются двумя несвязанными источниками света.

Решение:

Некогерентность естественных источников света можно понять, исследуя механизм возникновения излучения света атомами. В двух независимых источниках света атомы испускают волны независимо друг от друга. Каждый атом излучает конечное время примерно около ${10}^{-8}секунд$. За такой период времени возбужденный атом переходит в нормальное состояние, излучение им волны заканчивается. Возбужденный атом испускает свет уже с иной начальной фазой. При этом разности фаз излучений двух подобных атомов является переменной. Значит волны, которые спонтанно испускают атомы источника света, не когерентны. Только в интервале времени, примерно равном ${10}^{-8}с$ волны, которые излучают атомы, имеют почти неизменные амплитуды и фазы. Такая модель излучения справедлива для любого источника света, который имеет конечные размеры.

Лекция 13. Интерференция света

Модуль 2.3 Волновая оптика

Основные понятия : интерференция волн, когерентность, оптическая разность хода, разность фаз колебаний, ширина интерференционной полосы, полосы равного наклона, полосы равной толщины.

План лекции

1. Интерференция волн. Принцип суперпозиции для волн. Когерентные волны.

2. Интерференция света от двух точечных источников.

3. Простые интерференционные схемы.

4. Полосы равного наклона и равной толщины. Отражение от тонких пленок и плоскопараллельных пластинок. Кольца Ньютона. Интерферометры.

Краткое содержание

Волновые свойства света наиболее отчетливо обнаруживают себя в интерференции и дифракции. Эти явления характерны для волн любой природы и сравнительно просто наблюдаются на опыте для волн на поверхности воды или для звуковых волн. Наблюдать же интерференцию и дифракцию световых волн можно лишь при определенных условиях. Свет, испускаемый обычными (нелазерными) источниками, не бывает строго монохроматическим. Поэтому для наблюдения интерференции свет от одного источника нужно разделить на два пучка и затем наложить их друг на друга. Существующие экспериментальные методы получения когерентных пучков из одного светового пучка можно разделить на два класса.

В методе деления волнового фронта пучок пропускается, например, через два близко расположенных отверстия в непрозрачном экране. Такой метод пригоден лишь при достаточно малых размерах источника.

В другом методе пучок делится на одной или нескольких частично отражающих, частично пропускающих поверхностях. Этот метод деления амплитуды может применяться и при протяженных источниках.

Если частоты волн одинаковые, то зависимость от времени будет определяться только разностью начальных фаз колебаний и , каждая из которых в волнах от независимых источников случайным (хаотичным) образом меняется во времени. Если удастся каким либо образом согласовать колебания так, чтобы эта разность не зависела от времени, или медленно менялась во времени, то интенсивность результирующей волны уже не будет равна сумме интенсивностей падающих волн и можно записать:

Такие «согласованные» по фазе волны называют когерентными.

Таким образом, две волны будут когерентными, если слагаемое , описывающее перераспределение интенсивности в пространстве, не обращается в нуль.

Когерентными являются, например, одинаково поляризованные волны, если их частоты одинаковы, а разность начальных фаз не зависит от времени. Так как начальная фаза каждого цуга волн – случайная функция времени, то для получения когерентных колебаний необходимо как-то разделить одну световую волну от источника на две, и тогда разность начальных фаз будет равна нулю. Знак усреднения можно снять и записать

где. Величину можно рассматривать как разность расстояний, пройденных волнами от источника до места встречи. Эту разность, умноженную на показатель преломления среды, называют оптической разностью хода , а - разностью их фаз в момент встречи. Таким образом, в зависимости от разности фаз или, что тоже самое, в зависимости от разности хода интенсивность в различных точках пространства может изменяться от минимального значения

В этой статье мы расскажем, что означает понятие когерентности, определим ее основные виды (временная и пространственная), а также решим несколько задач, связанных с оценкой когерентности. Начнем с базового определения.

Определение 1

При наблюдении интерференции волн одним из важнейших условий является их когерентность. О наличии когерентности говорят тогда, когда имеет место согласованность протекания волновых или колебательных процессов во времени и пространстве.

Когерентность характеризуется такой чертой, как степень (иначе ее можно назвать степенью согласованности вышеуказанных процессов). Различают два основных типа данного явления – временную и пространственную когерентность.

Что такое временная когерентность

Данный тип когерентности характеризуется длиной и продолжительностью. Она возникает тогда, когда мы имеем дело с немонохромным точечным источником света. Примером могут быть полосы, наблюдаемые при интерференции в специальном приборе – интерферометре Майкельсона: чем выше оптическая разность, тем менее четкими становятся полосы (вплоть до полного исчезновения). Основная причина временной когерентности света лежит в длине источника и конечном времени свечения.

Рассматривать когерентность можно с точки зрения двух подходов. Первый принято называть фазовым, а второй частотным. Фазовый подход заключается в том, что частоты формул, описывающих колебательные процессы в определенной точке пространства, возбуждаемые двумя накладывающимися волнами, будут постоянными и равными друг другу ω 1 = ω 2 .

Важно, что δ (t) = α 2 (t) - α 1 (t) . Здесь выражение 2 I 1 I 2 cos δ (t) – это так называемый интерференционный член.

Если мы измеряем процесс интерференции каким-либо прибором, необходимо учитывать, что он в любом случае будет иметь время инерции. Время срабатывания прибора можно обозначить как t i . Тогда если за время, равное t i , cos δ (t) будет принимать значения в интервале от минус единицы до плюс единицы, то 2 I 1 I 2 cos δ t = 0 .

В таком случае исследуемые волны когерентными не являются. Если же за указанное время величина cos δ (t) сохраняется практически неизменной, то интерференция становится очевидной, и у нас получаются когерентные волны.

Из всего этого можно сделать вывод об относительности понятия когерентности. При малой инерционности прибора интерференция, как правило, обнаруживается, а если прибор обладает большим временем инерции, то нужную картину мы можем просто не увидеть.

Определение 2

Время когерентности , обозначаемое как t k o g – это такое время, за которое происходит случайное изменение фазы волны a (t) , примерно равное π .

Если t i ≪ t k o g , то в приборе становится видно четную интерференционную картину.

Определение 3

Длина когерентности – это определенное расстояние, при перемещении по которому фаза претерпевает случайное изменение, примерно равное π .

Если мы делим естественную световую волну на две части, то для того, чтобы увидеть интерференцию, нужно сохранить оптическую разность хода меньше, чем l k o g .

Время когерентности имеет зависимость от интервала частот, а также от длины волн, представленных в общей световой волне.

Временная когерентность связана с разбросом величин модуля волнового числа k → .

Что такое пространственная когерентность

Если мы имеем дело с монохроматическим протяженным, а не точечным источником света, то здесь вводится понятие пространственной когерентности. Она имеет такие характеристики, как ширина, радиус и угол.

Пространственная когерентность зависит от вариативности направлений вектора k → . Направления данного вектора могут быть охарактеризованы с помощью единичного вектора e k → .

Длина пространственной когерентности, или радиус когерентности, – это расстояние ρ k o g .

Буквой φ обозначен угловой размер источника световой волны.

Замечание 1

Если волна света располагается вблизи нагретого тела, то ее пространственная когерентность составляет всего несколько длин волн. Чем больше расстояние от источника света, тем выше степень пространственной когерентности.

Пример 1

Условие: допустим, что угловой размер Солнца равен 0 , 01 р а д. Оно испускает волны света, равные 500 н м. Вычислите радиус когерентности данных волн.

Решение

Чтобы оценить радиус когерентности, воспользуемся формулой ρ k o g ~ λ φ . Вычисляем:

ρ k o g ~ 500 · 10 - 9 0 , 01 = 5 · 10 - 5 (м) .

Интерференция солнечных лучей не может быть видна невооруженным взглядом, поскольку радиус ее когерентности очень мал и находится вне разрешающей способности человеческого глаза.

Ответ: ρ k o g ~ 50 м к м.

Пример 2

Условие: если два не связанных между собой источника света испускают волны, почему данные волны не будут когерентными?

Решение

Чтобы дать объяснение этому явлению, обратимся к механизму возникновения излучения на атомном уровне. Если источники света независимы, то атомы в них испускают световые волны также независимо. Продолжительность излучения каждого атома равна примерно 10 - 8 c е к, после чего атом возвращается в обычное состояние, и излучение волны прекращается. Возбужденный атом будет испускать свет с изначально другой фазой, значит, разности фаз излучений двух подобных атомов будут переменными. Следовательно, волны, спонтанно испускающие свет, не являются когерентными. Данная модель будет справедливой для любых источников света с конечными размерами.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Когерентностью называется согласованное протекание нескольких колебательных или волновых процессов. Степень согласования может быть различной. Соответственно вводится понятие степени когерентности двух волн.

Пусть в данную точку пространства приходят две световые волны одинаковой частоты, которые возбуждают в этой точке колебания одинакового направления (обе волны поляризованы одинаковым образом):

Е = А 1 соs(wt + a 1),

Е = A 2 cos(wt + a 2), тогда амплитуда результирующего колебания

А 2 = А 1 2 +А 2 2 + 2А 1 А 2 соsj, (1)

где j = a 1 - a 2 = const.

Если частоты колебаний в обеих волнах w одинаковы, а разность фаз j возбуждаемых колебаний остается постоянной во времени, то такие волны называются когерентными.

Приналожении когерентных волн они дают устойчивое колебание с неизменной амплитудой А = соnst, определяемой выражением (1) и в зависимости от разности фаз колебаний лежащей в пределах

|а 1 –А 2 ê £ A £ а 1 +А 2.

Т.о., когерентные волны при интерференции друг с другом дают устойчивое колебание с амплитудой не больше суммы амплитуд интерферирующих волн.

Если j = p, тогда соsj = -1 и а 1 = А 2 , a амплитуда суммарного колебания равна нулю, и интерферирующие волны полностью гасят друг друга.

В случае некогерентных волн j непрерывно изменяется, принимая с равной вероятностью любые значения, вследствие чего среднее по времени значение t = 0. Поэтому

А 2 > = <А 1 2 > + <А 2 2 >,

откуда интенсивность, наблюдаемая при наложении некогерентных волн, равна сумме интенсивностей, создаваемых каждой из волн в отдельности:

В случае когерентных волн, соsj имеет постоянное во времени значение (но свое для каждой точки пространства), так что

I = I 1 + I 2 + 2Ö I 1 × I 2 cosj (2)

В тех точках пространства, для которых соsj >0, I> I 1 +I 2 ; в точках, для которых соsj<0, Iинтерференцией волн. Особенно отчетливо проявляется интерференция в том случае, когда интенсивности обеих интерферирующих волн одинаковы: I 1 =I 2 . Тогда согласно (2) в максимумах I = 4I 1 , в минимумах же I = 0. Для некогерентных волн при том же условии получается всюду одинаковая интенсивность I = 2I 1 .

Все естественные источники света (Солнце, лампочки накаливания и т.д.) не когерентны.

Некогерентность естественных источников света обусловлена тем, что излучение светящегося тела слагается из волн, испускаемых многими атомами. Отдельные атомы излучают цуги волн длительностью порядка 10 -8 с и протяженностью около 3 м. Фаза нового цуга никак не связана с фазой предыдущего цуга. В испускаемой телом световой волне излучение одной группы атомов через время порядка 10 -8 с сменяется излучением другой группы, причем фаза результирующей волны претерпевает случайные изменения.

Некогерентными и не могущими интерферировать др. с др. являются волны, испускаемые различными естественными источниками света. А можно ли вообще для света создать условия, при которых наблюдались бы интерференционные явления? Как, пользуясь обычными некогерентными излучателями света, создать взаимно когерентные источники?

Когерентные световые волны можно получить, разделив (с помощью отражений или преломлений) волну, излучаемую одним источником света, на две части, Если заставить эти две волны пройти разные оптические пути, а потом наложить их др. на др., наблюдается интерференция. Разность оптических длин путей, проходимых интерферирующими волнами, не должна быть очень большой, так как складывающиеся колебания должны принадлежать одному и тому же результирующему цугу волн. Если эта разность ³1м, наложатся колебания, соответствующие разным цугам, и разность фаз между ними будет непрерывно изменяться хаотическим образом.

Пусть разделение на две когерентные волны происходит в точке О (рис.2).

До точки Р первая волна проходит в среде показателем преломления n 1 путь S 1 , вторая волна проходит в среде с показателем преломления n 2 путь S 2 . Если в точке О фаза колебания равна wt, то первая волна возбудит в точке Р колебание А 1 соsw(t – S 1 /V 1), а вторая волна -колебание А 2 соsw(t – S 2 /V 2), где V 1 и V 2 - фазовые скорости. Следовательно, разность фаз колебаний, возбуждаемых волнами в точке Р, будет равна

j = w(S 2 /V 2 – S 1 /V 1) = (wc)(n 2 S 2 – n 1 S 1).

Заменим w/с через 2pn/с = 2p/lо (lо - длина волны в),тогда
j = (2p/lо)D, где (3)

D= n 2 S 2 – n 1 S 1 = L 2 - L 1

есть величина, равная разности оптических длин, проходимых волнами путей, и называется оптической разностью хода.

Из (3) видно, что если оптическая разность хода равна целому числу длин волн в вакууме:

D = ±mlо (m = 0,1,2), (4)

то разность фаз оказывается кратной 2p и колебания, возбуждаемые в точке Р обеими волнами, будут происходить с одинаковой фазой. Т.о., (4) есть условие интерференционного максимума.

Если оптическая разность хода D равна полуцелому числу длин волн в вакууме:

D = ± (m + 1/2)lо (m =0, 1,2, ...), (5)

то j = ± (2m + 1)p, так что колебания в точке Р находятся в противофазе. Следовательно, (5) есть условие интерференционного минимума.

Принцип получения когерентных световых волн разделением волны на две части, проходящие различные пути, может быть практически осуществлен различными способами - с помощью экранов и щелей, зеркал и преломляющих тел.

Впервые интерференционную картину от двух источников света наблюдал в 1802 году английский ученый Юнг. В опыте Юнга (рис.3) свет от точечного источника (малое отверстие S) проходит через две равноудаленные щели (отверстия) А 1 и А 2 , являющиеся как бы двумя когерентными источниками (две цилиндрические волны). Интерференционная картина наблюдается на экране Ё, расположенном на некотором расстоянии l параллельно А 1 А 2 . Начало отсчета выбрано в точке 0, симметричной относительно щелей.

Плоская св. S O

A 2 S 2 l

Усиление и ослабление света в произвольной точке Р экрана зависит от оптической разности хода лучей D =L 2 – L 1 . Для получения различимой интерференционной картины расстояние между источниками А 1 А 2 =d должно быть значительно меньше расстояния до экрана l . Расстояние х, в пределах которого образуются интерференционные полосы, значительно меньше l . При этих условиях можно положить S 2 – S 1 » 2l . Тогда S 2 – S 1 » xd/l . Умножив на n,

D = nxd/l . (6)

Подставив (6) в (4) получим, что максимумы интенсивности будут наблюдаться при значениях х, равных

х max = ± ml l/d (m = 0, 1,2,.,.). (7)

Здесь l = l 0 /n - длина волны в среде, заполняющей пространство между источниками и экраном.

Координаты минимумов интенсивности будут:

х min = ±(m +1/2)ll/d (m = 0,1,2,...). (8)

Расстояние между двумя соседними максимумами интенсивности называется расстоянием между интерференционными полосами, а расстояние между соседними минимумами - шириной интерференционной полосы. Из (7) и (8) следует, что расстояние между полосами и ширина полосы имеют одинаковое значение, равное

Dх = l l/d. (9)

Измеряя параметры, входящие в (9), можно определить длину волны оптического излучения l. Согласно (9) Dх пропорционально 1/d, поэтому чтобы интерференционная картина была четко различима, необходимо соблюдение упоминавшегося выше условия: d<< l . Главный максимум, соответствующий m = 0, проходит через точку 0. Вверх и вниз от него на равных расстояниях друг от друга располагаются максимумы (минимумы) первого (m =1), второго (m = 2) порядков и т.д.

Такая картина справедлива при освещении экрана монохроматическим светом (l 0 = const). При освещении белым светом интерференционные максимумы (и минимумы) для каждой длины волны будут, согласно формуле (9), смещены друг относительно друга и иметь вид радужных полос. Только для m = 0 максимумы для всех длин волн совпадают, и в середине экрана будет наблюдаться светлая полоса, по обе стороны от которой симметрично расположатся спектрально окрашенные полосы максимумов первого, второго порядков и т д. (ближе к центральной светлой полосе будут находиться зоны фиолетового цвета, дальше – зоны красного цвета).

Интенсивность интерференционных полос не остается постоянной, а изменяется вдоль экрана по закону квадрата косинуса.

Наблюдать интерференционную картину можно с помощью зеркала Френеля, зеркала Лойда, бипризмы Френеля и других оптических устройств, а также при отражении света от тонких прозрачных пленок.